Đề 7 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

Các giá trị kỳ dị (singular values) của ma trận A là căn bậc hai của các giá trị riêng của ma trận A^T * A (hoặc A * A^T). Phân tích giá trị kỳ dị (SVD) là một công cụ mạnh mẽ trong đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, thống kê và học máy.

Phép chuẩn hóa Gram-Schmidt là một thuật toán để biến đổi một cơ sở bất kỳ của một không gian tích trong thành một cơ sở trực giao (orthogonal basis) hoặc trực chuẩn (orthonormal basis) cho không gian đó.

Đối với cơ sở chuẩn của R^3, vectơ tọa độ của một vectơ v = (x, y, z) chính là chính vectơ đó (x, y, z). Vì vậy, vectơ tọa độ của v = (2, -3, 4) đối với cơ sở chuẩn là (2, -3, 4).

Một biến đổi tuyến tính T: V → W là toàn ánh (surjective) hay còn gọi là lên trên nếu với mọi vectơ w trong không gian đích W, luôn tồn tại ít nhất một vectơ v trong không gian nguồn V sao cho T(v) = w. Điều này có nghĩa là ảnh của T bao phủ toàn bộ không gian đích W.

Theo định lý về số chiều của không gian thương, nếu W là không gian con của không gian vectơ V, thì số chiều của không gian thương V/W bằng hiệu số chiều của V và số chiều của W: dim(V/W) = dim(V) - dim(W).

Một biến đổi tuyến tính T: V → W là đơn ánh (injective) hay còn gọi là một-một nếu với mỗi ảnh trong W có tối đa một tạo ảnh trong V. Định nghĩa chính xác là: nếu T(v1) = T(v2) thì v1 = v2. Điều này đảm bảo rằng không có hai vectơ khác nhau trong V được ánh xạ đến cùng một vectơ trong W.

Ma trận biểu diễn của phép quay quanh gốc tọa độ một góc θ trong R^2 đối với cơ sở chuẩn là [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]. Khi nhân ma trận này với vectơ cột [x, y]^T, ta được vectơ tọa độ của điểm sau khi quay góc θ.

Phân tích LU (LU decomposition) của ma trận vuông A là việc phân tích A thành tích của hai ma trận: ma trận tam giác dưới L (Lower triangular matrix) và ma trận tam giác trên U (Upper triangular matrix), sao cho A = LU. Phân tích LU rất hữu ích trong việc giải hệ phương trình tuyến tính và tính định thức.

Vết (trace) của ma trận vuông A là tổng của các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận. Ví dụ, nếu A = [a_ij], thì tr(A) = a_11 + a_22 + ... + a_nn.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian vectơ có tích trong phát biểu rằng giá trị tuyệt đối của tích trong của hai vectơ u và v nhỏ hơn hoặc bằng tích của chuẩn của u và chuẩn của v: || ≤ ||u|| * ||v||. Đây là một bất đẳng thức quan trọng trong đại số tuyến tính và giải tích hàm.

Hạng của ma trận (rank) được định nghĩa là số chiều của không gian cột (column space) của ma trận, và nó cũng bằng số chiều của không gian hàng (row space) của ma trận. Nó thể hiện số lượng cột (hoặc hàng) độc lập tuyến tính tối đa của ma trận.

Cả ba tính chất được liệt kê đều là các tính chất đúng của ma trận nghịch đảo. (A^(-1))^(-1) = A (nghịch đảo của nghịch đảo là chính nó), (A^(-1))^T = (A^T)^(-1) (nghịch đảo của chuyển vị bằng chuyển vị của nghịch đảo), và (cA)^(-1) = (1/c)A^(-1) (nghịch đảo của tích một số với ma trận).

Tích có hướng u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3).

Giao của hai không gian con của một không gian vectơ V luôn là một không gian con của V. Hợp của hai không gian con không nhất thiết là một không gian con (chỉ đúng khi một không gian con chứa trong không gian con kia). Phần bù và khái niệm `phần bù` của không gian con không được định nghĩa theo cách tạo ra không gian con khác trong đại số tuyến tính cơ bản. Không gian con tầm thường chỉ chứa vectơ không vẫn là một không gian con, mặc dù có thể chỉ chứa một vectơ duy nhất.

Tính chất cơ bản của định thức là định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu: det(A^T) = det(A).

Cơ sở của một không gian vectơ là một tập hợp các vectơ vừa độc lập tuyến tính (linearly independent) và vừa sinh ra (span) không gian vectơ đó. Tính độc lập tuyến tính đảm bảo tính `tối thiểu` của cơ sở, và tính sinh ra đảm bảo cơ sở `bao phủ` toàn bộ không gian.

Đa thức đặc trưng của ma trận vuông A được định nghĩa là p(λ) = det(A - λI), trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A và λ là một biến số. Các nghiệm của phương trình đặc trưng p(λ) = 0 chính là các giá trị riêng của ma trận A.

Tích vô hướng có tất cả các tính chất trên: tính giao hoán (u · v = v · u), tính phân phối đối với phép cộng vectơ (u · (v + w) = u · v + u · w), và tính tuyến tính đối với phép nhân vô hướng ((cu) · v = c(u · v)).

Khử Gauss (Gaussian elimination) là một phương pháp cơ bản và hiệu quả để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Phương pháp này sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận mở rộng [A|b] về dạng bậc thang rút gọn, từ đó tìm ra nghiệm của hệ.

Định lý Rank-Nullity khẳng định rằng tổng của hạng của ma trận A (rank(A)) và số chiều của không gian nghiệm của A (nullity(A)) bằng số cột của ma trận A (n). Công thức là: rank(A) + nullity(A) = n.

Trong không gian vectơ R^n, số chiều là n. Bất kỳ tập hợp nào chứa nhiều hơn n vectơ (ví dụ n+1 vectơ) trong R^n đều phải phụ thuộc tuyến tính. Đây là một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính về số chiều và tính độc lập tuyến tính.

Một tập hợp các vectơ {v1, v2, ..., vk} là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hệ số c1, c2, ..., ck không đồng thời bằng 0 sao cho c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0 (vectơ không). Điều này có nghĩa là tồn tại một tổ hợp tuyến tính khác không của các vectơ bằng vectơ không.

Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (orthogonal matrix) nếu tích của ma trận chuyển vị của A (A^T) và chính ma trận A (A) bằng ma trận đơn vị I (A^T * A = I). Điều này cũng tương đương với A * A^T = I và A^(-1) = A^T.

Giá trị riêng (eigenvalue) λ của ma trận vuông A là một số vô hướng sao cho tồn tại một vectơ khác không v (vectơ riêng - eigenvector) thỏa mãn phương trình Av = λv. Phương trình này định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng.

Hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận hệ số A khả nghịch, điều này tương đương với định thức của A khác 0 (det(A) ≠ 0).

Không gian nghiệm (null space) của ma trận A, ký hiệu Null(A), là tập hợp tất cả các vectơ x sao cho tích ma trận-vectơ Ax bằng vectơ không (0). Null(A) là một không gian con của không gian vectơ nguồn.

Phép chiếu vuông góc lên trục x biến vectơ (x, y) thành vectơ (x, 0). Ma trận biểu diễn T phải thỏa mãn T * [x, y]^T = [x, 0]^T. Ma trận [[1, 0], [0, 0]] nhân với [x, y]^T cho kết quả [x, 0]^T. Vậy ma trận biểu diễn là [[1, 0], [0, 0]].

Để tìm ảnh của vectơ v qua biến đổi T, ta nhân ma trận biểu diễn của T với vectơ v (dưới dạng vectơ cột). [[1, 2], [3, 4]] * [1, -1]^T = [1*1 + 2*(-1), 3*1 + 4*(-1)]^T = [1 - 2, 3 - 4]^T = [-1, -1]^T. Vậy ảnh của v là (-1, -1).

Tính chất chuyển vị của tích hai ma trận là (AB)^T = B^T * A^T. Thứ tự của các ma trận bị đảo ngược khi chuyển vị tích.

Định nghĩa của hai vectơ trực giao (orthogonal) là tích vô hướng của chúng bằng 0. Trong không gian Euclide, điều này tương ứng với việc hai vectơ vuông góc với nhau.