1. Cho biến đổi tuyến tính T: V → W. Hạt nhân (kernel) của T, ký hiệu ker(T), là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ trong W là ảnh của ít nhất một vectơ trong V
B. Tập hợp tất cả các vectơ trong V được ánh xạ tới vectơ không trong W bởi T
C. Ảnh của không gian V dưới biến đổi T
D. Không gian con của W
2. Phép chiếu vuông góc từ không gian R³ xuống mặt phẳng xy biến vectơ (x, y, z) thành vectơ nào?
A. (x, y, z)
B. (x, y, 0)
C. (0, 0, z)
D. (0, 0, 0)
3. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 là gì?
A. Luôn là tập rỗng
B. Luôn là một không gian con của không gian vectơ
C. Luôn là toàn bộ không gian vectơ
D. Không phải là không gian vectơ trừ khi A là ma trận không
4. Nếu ma trận A là ma trận vuông cấp n và khả nghịch, thì định thức của ma trận nghịch đảo A⁻¹ bằng:
A. det(A)
B. -det(A)
C. 1 / det(A)
D. 0
5. Cho không gian vectơ V có cơ sở B = {v₁, v₂, ..., vn}. Số chiều của không gian V là:
A. Số lượng phần tử của mỗi vectơ vi
B. Số lượng vectơ trong cơ sở B, tức là n
C. Tổng các chiều của từng vectơ vi
D. Không xác định nếu B không phải là cơ sở chính tắc
6. Phân rã LU của ma trận vuông A là phân tích A thành tích của hai ma trận nào?
A. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R
B. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U
C. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A
7. Cho ma trận A vuông. Vết (trace) của ma trận A là gì?
A. Định thức của ma trận A
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính của A
D. Hạng của ma trận A
8. Ảnh (image) của biến đổi tuyến tính T: V → W, ký hiệu Im(T), là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ trong V được ánh xạ tới vectơ không trong W bởi T
B. Tập hợp tất cả các vectơ trong V
C. Tập hợp tất cả các vectơ trong W là ảnh của ít nhất một vectơ trong V
D. Hạt nhân của T
9. Cho hệ phương trình Ax = b. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi nào?
A. Khi det(A) = 0
B. Khi det(A) ≠ 0 và hạng(A) < hạng([A|b])
C. Khi det(A) ≠ 0 và hạng(A) = hạng([A|b])
D. Khi hạng(A) < hạng([A|b])
10. Trong bài toán bình phương tối thiểu (least squares), mục tiêu là tìm nghiệm x sao cho Ax gần với b nhất. Nghiệm này được tìm bằng cách giải hệ phương trình nào?
A. Ax = b
B. A^T Ax = A^T b
C. AA^T x = b
D. x = A⁻¹b
11. Cho không gian vectơ R² với tích vô hướng Euclid. Tìm chuẩn (norm) của vectơ v = (3, -4).
12. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận bao gồm:
A. Chỉ đổi chỗ hai dòng
B. Chỉ nhân một dòng với một số khác 0
C. Chỉ cộng một bội của một dòng vào dòng khác
D. Đổi chỗ hai dòng, nhân một dòng với một số khác 0, và cộng một bội của một dòng vào dòng khác
13. Cho ma trận A vuông. Điều kiện nào sau đây KHÔNG tương đương với việc A khả nghịch?
A. det(A) ≠ 0
B. Hệ phương trình Ax = 0 chỉ có nghiệm tầm thường
C. Hạng của A bằng cấp của ma trận
D. Tất cả các giá trị riêng của A đều bằng 0
14. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi nào?
A. Khi định thức của A bằng 0
B. Khi định thức của A khác 0
C. Khi tất cả các phần tử trên đường chéo chính của A khác 0
D. Khi A là ma trận đơn vị
15. Tìm định thức của ma trận đơn vị cấp n (In).
A. 0
B. 1
C. n
D. Không xác định
16. Định lý Rank-Nullity phát biểu mối quan hệ giữa các chiều của không gian nào?
A. Chiều của không gian dòng và không gian cột
B. Chiều của hạt nhân (ker(T)) và ảnh (Im(T)) của biến đổi tuyến tính T
C. Chiều của không gian vectơ V và không gian đối ngẫu V*
D. Chiều của không gian con và không gian thương
17. Trong không gian R³, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ như thế nào?
A. Song song với cả u và v
B. Vuông góc với cả u và v
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v
D. Cùng hướng với u
18. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm. Phát biểu nào sau đây là đúng về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất?
A. Chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường (nghiệm không)
B. Luôn có vô số nghiệm
C. Luôn có ít nhất một nghiệm, đó là nghiệm tầm thường
D. Không có nghiệm nào nếu số phương trình lớn hơn số ẩn
19. Cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (3, -1, 2). Tích vô hướng của u và v là bao nhiêu?
20. Khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss, mục tiêu cuối cùng là đưa ma trận bổ sung về dạng nào?
A. Ma trận đường chéo
B. Ma trận tam giác trên (hoặc dạng bậc thang dòng)
C. Ma trận tam giác dưới
D. Ma trận đơn vị
21. Cho biến đổi tuyến tính T: R² → R² được xác định bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
22. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận A chuyển vị (A^T) bằng định thức của ma trận nào dưới đây?
A. Ma trận nghịch đảo của A (A⁻¹)
B. Ma trận đối của A (-A)
C. Ma trận A
D. Ma trận đơn vị I
23. Khi nào hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng?
A. Khi chúng có cùng kích thước
B. Khi chúng có cùng định thức
C. Khi tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B = P⁻¹AP
D. Khi chúng có cùng hạng
24. Vectơ riêng của ma trận là gì?
A. Vectơ không
B. Vectơ mà khi nhân với ma trận, hướng của nó thay đổi
C. Vectơ khác không v sao cho Av = λv với một số vô hướng λ
D. Vectơ cột của ma trận
25. Giá trị riêng của ma trận là gì?
A. Vectơ mà khi nhân với ma trận, hướng của nó không thay đổi
B. Số vô hướng λ sao cho tồn tại vectơ khác không v thỏa Av = λv
C. Định thức của ma trận trừ đi ma trận đơn vị
D. Vết của ma trận
26. Hệ vectơ {v₁, v₂, ..., vk} được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại các hệ số c₁, c₂, ..., ck không đồng thời bằng 0 sao cho c₁v₁ + c₂v₂ + ... + ckvk = 0
B. Phương trình c₁v₁ + c₂v₂ + ... + ckvk = 0 chỉ có nghiệm tầm thường c₁ = c₂ = ... = ck = 0
C. Tất cả các vectơ vi đều khác vectơ không
D. Tích vô hướng của bất kỳ hai vectơ khác nhau trong hệ bằng 0
27. Trong không gian vectơ R³, tập hợp các vectơ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là một...
A. Tập sinh không gian R³ nhưng không độc lập tuyến tính
B. Cơ sở của không gian R³
C. Tập độc lập tuyến tính nhưng không là tập sinh không gian R³
D. Không phải là tập sinh và cũng không độc lập tuyến tính
28. Hạng của ma trận là gì?
A. Số cột của ma trận
B. Số dòng của ma trận
C. Số chiều của không gian dòng (hoặc không gian cột) của ma trận
D. Định thức của ma trận
29. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B (cùng cấp) bằng:
A. det(A) + det(B)
B. det(A) - det(B)
C. det(A) * det(B)
D. det(A) / det(B)
30. Không gian con của không gian vectơ V là gì?
A. Một tập con của V không chứa vectơ không
B. Một tập con của V đóng kín đối với phép cộng vectơ nhưng không đối với phép nhân vô hướng
C. Một tập con của V đóng kín đối với cả phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng, và chứa vectơ không
D. Một tập con của V chỉ đóng kín đối với phép nhân vô hướng
