Đề 1 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` = y là:

A. y = Ce^x

B. y = Cx

C. y = C + x

D. y = e^(Cx)

2. Hệ tọa độ trụ (r, θ, z) liên hệ với hệ tọa độ Descartes (x, y, z) như thế nào?

A. x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z

B. x = r sin(θ), y = r cos(θ), z = z

C. x = r cos(z), y = r sin(z), θ = θ

D. x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = r

3. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` - 4y` + 4y = 0 là:

A. y = C₁e^(2x) + C₂xe^(2x)

B. y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x)

C. y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

D. y = C₁e^(4x) + C₂e^(-x)

4. Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2L được biểu diễn dưới dạng nào?

A. f(x) = a₀/2 + ∑_(n=1)^∞ [a_n cos(nπx/L) + b_n sin(nπx/L)]

B. f(x) = a₀/2 + ∑_(n=1)^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]

C. f(x) = ∑_(n=1)^∞ [a_n cos(nπx/L) + b_n sin(nπx/L)]

D. f(x) = a₀ + ∑_(n=1)^∞ [a_n cos(nπx/L) + b_n sin(nπx/L)]

5. Công thức Stokes liên hệ tích phân đường dọc theo biên ∂S của mặt S với tích phân gì trên mặt S?

A. Tích phân mặt của curl(F)

B. Tích phân mặt của div(F)

C. Tích phân mặt của F

D. Tích phân kép của F

6. Cho hàm số f(x, y) = e^(x² + y²). Điểm (0, 0) là điểm gì của hàm số này?

A. Điểm cực tiểu địa phương

B. Điểm cực đại địa phương

C. Điểm yên ngựa

D. Không phải điểm cực trị

7. Trong tích phân đường loại 2 ∫_C F · dr, F · dr biểu diễn điều gì?

A. Công của trường lực F dọc theo đường cong C

B. Độ dài đường cong C

C. Diện tích giới hạn bởi đường cong C

D. Thể tích giới hạn bởi đường cong C

8. Tích phân kép ∫∫_R f(x, y) dA, với R là miền hình chữ nhật [a, b] × [c, d], có thể được tính bằng tích phân lặp nào?

A. ∫_c^d ∫_a^b f(x, y) dx dy

B. ∫_a^b ∫_c^d f(x, y) dy dx

C. Cả hai đáp án 1 và 2 đều đúng

D. Không đáp án nào đúng

9. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?

A. y` = x + y

B. y` = xy

C. y` = x² + y²

D. y` = x/y + 1

10. Cho hàm số z = f(x, y). Vi phân toàn phần dz được định nghĩa là:

A. dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

B. dz = (∂f/∂x)dx - (∂f/∂y)dy

C. dz = (∂f/∂y)dx + (∂f/∂x)dy

D. dz = (∂²f/∂x²)dx + (∂²f/∂y²)dy

11. Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính curl(F).

A. (0, 0, 0)

B. (1, 1, 1)

C. (x, y, z)

D. (y, z, x)

12. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt của trường vector F qua mặt kín S với tích phân gì trong miền V được bao bởi S?

A. Tích phân bội ba của div(F)

B. Tích phân bội ba của curl(F)

C. Tích phân bội ba của F

D. Tích phân kép của div(F)

13. Trong hệ tọa độ cầu (ρ, θ, φ), ρ biểu diễn điều gì?

A. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm

B. Góc giữa vector vị trí và trục Oz

C. Góc giữa hình chiếu của vector vị trí xuống mặt phẳng xy và trục Ox

D. Tọa độ z

14. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV trong hệ tọa độ cầu được viết như thế nào?

A. ∫∫∫ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ

B. ∫∫∫ ρ² cos(φ) dρ dφ dθ

C. ∫∫∫ ρ sin(φ) dρ dφ dθ

D. ∫∫∫ ρ cos(φ) dρ dφ dθ

15. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 2) theo hướng vector u = (1, 1).

A. 3/√2

B. 3

C. √2

D. 1

16. Khái niệm `vector pháp tuyến` của một mặt cong tại một điểm là gì?

A. Vector vuông góc với mặt tiếp diện của mặt cong tại điểm đó

B. Vector tiếp tuyến với mặt cong tại điểm đó

C. Vector có độ dài bằng 1

D. Vector chỉ phương của mặt cong

17. Cho phương trình vi phân y`` + 2y` + y = e^(-x). Dạng nghiệm riêng của phương trình này theo phương pháp hệ số bất định là:

A. y_p = Axe^(-x)

B. y_p = Ax²e^(-x)

C. y_p = Ae^(-x)

D. y_p = A

18. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y` + 2y = 4 là:

A. y = 2

B. y = 4

C. y = 2x

D. y = 4x

19. Trong không gian R³, phương trình x² + y² = 4 biểu diễn hình gì?

A. Mặt trụ tròn

B. Mặt cầu

C. Đường tròn

D. Mặt phẳng

20. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt cong S được tham số hóa bởi r(u, v) trên miền D?

A. ∫∫_D ||r_u × r_v|| dA

B. ∫∫_D r_u × r_v dA

C. ∫∫_D ||r_u + r_v|| dA

D. ∫∫_D ||r_u|| ||r_v|| dA

21. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n là một khoảng có dạng nào?

A. (a-R, a+R), [a-R, a+R), (a-R, a+R], hoặc [a-R, a+R] với R ≥ 0

B. (-R, R)

C. [a-R, a+R]

D. (a-R, a+R)

22. Định lý Green liên hệ tích phân đường dọc theo đường cong kín C với tích phân gì trên miền D được bao bởi C?

A. Tích phân kép

B. Tích phân đường loại 1

C. Tích phân mặt

D. Gradient

23. Tính phân kỳ (divergence) của trường vector F(x, y, z) = (P, Q, R) tại một điểm đo lường điều gì?

A. Mật độ nguồn hoặc hố của trường vector tại điểm đó

B. Độ xoáy của trường vector tại điểm đó

C. Hướng của trường vector tại điểm đó

D. Độ lớn của trường vector tại điểm đó

24. Giải phương trình vi phân y`` + y = 0. Nghiệm tổng quát là:

A. y = C₁cos(x) + C₂sin(x)

B. y = C₁e^x + C₂e^(-x)

C. y = C₁ + C₂x

D. y = C₁e^(ix) + C₂e^(-ix)

25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?

A. y` + sin(y) = x

B. y` + xy = x²

C. (y`)² + y = x

D. yy` + x = 0

26. Tích phân đường loại 1 của hàm số f(x, y) dọc theo đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)) từ a ≤ t ≤ b được tính bằng công thức nào?

A. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r`(t)|| dt

B. ∫_a^b f(x(t), y(t)) r`(t) dt

C. ∫_a^b f(x(t), y(t)) dt

D. ∫_a^b f(x`(t), y`(t)) ||r(t)|| dt

27. Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để trường vector F là trường bảo toàn?

A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x

B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y

C. P = Q

D. P + Q = 0

28. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS tính lưu lượng (flux) của trường vector F qua mặt S, đại lượng này đo lường điều gì?

A. Tổng lượng dòng chảy của trường vector F xuyên qua mặt S

B. Công của trường lực F dọc theo biên của S

C. Diện tích của mặt S

D. Thể tích giới hạn bởi mặt S

29. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 0) và (-1, -1)

C. (1, 0) và (0, 1)

D. Không có điểm dừng

30. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số z = f(x, y) khả vi liên tục đến cấp hai được định nghĩa là gì?

A. ∂²z/∂x∂y = ∂/∂x (∂z/∂y) và ∂²z/∂y∂x = ∂/∂y (∂z/∂x)

B. ∂²z/∂x∂y = ∂/∂y (∂z/∂x) và ∂²z/∂y∂x = ∂/∂x (∂z/∂y)

C. ∂²z/∂x∂y = ∂/∂x (∂z/∂x) và ∂²z/∂y∂x = ∂/∂y (∂z/∂y)

D. ∂²z/∂x∂y = ∂/∂y (∂z/∂y) và ∂²z/∂y∂x = ∂/∂x (∂z/∂x)