Đề 2 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Đường cong tham số r(t) = có vectơ tiếp tuyến tại điểm t là:

A.

B.

C. ∫ dt

D. ∇f(x, y, z)

2. Trong tích phân bội ba trong tọa độ cầu, phần tử thể tích dV được biểu diễn là:

A. dxdydz

B. ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ

C. ρ dρ dφ dθ

D. ρ^2 dρ dφ dθ

3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 3 là:

A. x^2 + 3x + C

B. 2x^2 + 3x + C

C. x^2 + C

D. 2 + C

4. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?

A. y`` + 2y` - y = 0

B. y` + xy = x^2

C. (y`)^2 + y = x

D. y`` + sin(y) = x

5. Phương trình vi phân y` = f(x)g(y) là phương trình vi phân:

A. Tuyến tính.

B. Tách biến.

C. Thuần nhất.

D. Exact.

6. Sai phân cấp hai tiến của hàm số y = f(x) ký hiệu Δ^2 y_i được tính bằng:

A. Δy_(i+1) - Δy_i

B. Δy_i - Δy_(i-1)

C. y_(i+2) - 2y_(i+1) + y_i

D. y_(i+1) - y_i

7. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?

A. lim (n→∞) a_n = 0

B. lim (n→∞) a_n = 1

C. ∑ |a_n| hội tụ

D. a_n > 0 với mọi n

8. Trong tích phân bội hai, việc đổi thứ tự tích phân có thể giúp:

A. Luôn làm cho tích phân dễ tính hơn.

B. Thay đổi giá trị của tích phân.

C. Đơn giản hóa miền tích phân hoặc hàm số dưới dấu tích phân, giúp việc tính toán dễ dàng hơn.

D. Làm cho tích phân trở nên suy rộng.

9. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa luôn là:

A. Một khoảng mở.

B. Một khoảng đóng.

C. Một khoảng hoặc một điểm hoặc toàn bộ trục số.

D. Nửa khoảng.

10. Tính hội tụ của chuỗi ∑ ((-1)^n) / n^α phụ thuộc vào giá trị nào của α?

A. α < 0

B. α = 0

C. α > 0

D. α là số nguyên.

11. Công thức nào sau đây đúng cho khai triển Taylor của hàm số f(x) tại x = a?

A. f(x) = ∑ [f^(n)(a) / n!] * (x-a)^n

B. f(x) = ∑ [f^(n)(x) / n!] * (x-a)^n

C. f(x) = ∑ [f^(n)(a) / n!] * x^n

D. f(x) = ∑ [f(a) / n!] * (x-a)^n

12. Giá trị của tích phân ∫(-∞ đến +∞) e^(-x^2) dx là:

A. 1

B. 0

C. √π

D. π

13. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:

A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến.

B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.

C. Tính tích phân bội.

D. Giải phương trình vi phân.

14. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục Ox, với D giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b là:

A. ∫(a đến b) π[f(x)] dx

B. ∫(a đến b) π[f(x)]^2 dx

C. ∫(a đến b) 2πx f(x) dx

D. ∫(a đến b) [f(x)]^2 dx

15. Chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x-a)^n có bán kính hội tụ R. Khi |x-a| < R thì chuỗi:

A. Phân kỳ.

B. Hội tụ tuyệt đối.

C. Bán hội tụ.

D. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ tùy thuộc vào c_n.

16. Đâu là công thức đúng cho tích phân từng phần?

A. ∫udv = uv - ∫vdu

B. ∫udv = uv + ∫vdu

C. ∫udv = u∫dv - v∫du

D. ∫udv = ∫uv - ∫vdu

17. Trong kiểm định hội tụ tỷ lệ (Ratio Test) cho chuỗi ∑ a_n, nếu lim (n→∞) |a_(n+1)/a_n| = L < 1 thì chuỗi:

A. Phân kỳ.

B. Hội tụ tuyệt đối.

C. Bán hội tụ.

D. Cần thêm thông tin để kết luận.

18. Công thức Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân mặt.

B. Tích phân đường và tích phân kép.

C. Tích phân mặt và tích phân khối.

D. Tích phân kép và tích phân bội ba.

19. Tính chất tuyến tính của tích phân xác định phát biểu rằng:

A. ∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + bg(x)dx

B. ∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx

C. ∫[f(x)g(x)]dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx

D. ∫[f(x)/g(x)]dx = ∫f(x)dx / ∫g(x)dx

20. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` + 4y = 0 là:

A. y = C_1 e^(2x) + C_2 e^(-2x)

B. y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)

C. y = C_1 cos(4x) + C_2 sin(4x)

D. y = (C_1 + C_2 x) e^(2x)

21. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx bằng nhau khi nào?

A. Luôn luôn bằng nhau.

B. Khi hàm số f(x, y) là hàm đa thức.

C. Khi các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm đang xét (Định lý Clairaut).

D. Khi f(x, y) là hàm khả vi.

22. Độ dài cung của đường cong tham số r(t) = từ t = a đến t = b được tính bằng công thức:

A. ∫(a đến b) √[x`(t) + y`(t)] dt

B. ∫(a đến b) √[[x`(t)]^2 + [y`(t)]^2] dt

C. ∫(a đến b) [x`(t) + y`(t)] dt

D. ∫(a đến b) [[x`(t)]^2 + [y`(t)]^2] dt

23. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi nào?

A. p < 1

B. p ≤ 1

C. p > 1

D. p ≥ 1

24. Hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x_0, y_0) nếu:

A. f_x(x_0, y_0) = 0 và f_y(x_0, y_0) = 0 và định thức Hessian tại (x_0, y_0) dương.

B. f_x(x_0, y_0) = 0 và f_y(x_0, y_0) = 0 và định thức Hessian tại (x_0, y_0) âm và f_xx(x_0, y_0) < 0.

C. f_x(x_0, y_0) ≠ 0 hoặc f_y(x_0, y_0) ≠ 0.

D. f_xx(x_0, y_0) > 0 và f_yy(x_0, y_0) > 0.

25. Trong tọa độ cực, phần tử diện tích dA được biểu diễn là:

A. dxdy

B. rdrdθ

C. drdθ

D. r^2 drdθ

26. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện đủ để chuỗi dương ∑ a_n hội tụ?

A. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn.

B. Tiêu chuẩn tỷ lệ (Ratio Test).

C. Tiêu chuẩn căn (Root Test).

D. lim (n→∞) a_n = 0.

27. Chuỗi Taylor của sin(x) tại x = 0 là:

A. ∑ ((-1)^n) * (x^(2n+1)) / (2n+1)!

B. ∑ (x^n) / n!

C. ∑ ((-1)^n) * (x^(2n)) / (2n)!

D. ∑ (x^(2n+1)) / (2n+1)!

28. Tích phân suy rộng loại 1 hội tụ khi nào?

A. Khi giới hạn tích phân là vô cùng và hàm số bị chặn.

B. Khi giới hạn tích phân hữu hạn và hàm số liên tục.

C. Khi tích phân xác định của hàm số tồn tại trên mọi khoảng hữu hạn và giới hạn của tích phân này khi biên trên tiến đến vô cùng tồn tại.

D. Khi hàm số có giới hạn tại vô cùng.

29. Để giải phương trình vi phân y`` + py` + qy = 0 (p, q là hằng số), ta xét phương trình đặc trưng:

A. r^2 + py + q = 0

B. r^2 + pr + q = 0

C. r + pr + q = 0

D. r^2 + pr^2 + q = 0

30. Công thức Stokes liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân kép.

B. Tích phân đường và tích phân mặt.

C. Tích phân mặt và tích phân khối.

D. Tích phân kép và tích phân bội ba.