1. Chuỗi ∑ (n=1 đến ∞) (1 / n!) hội tụ về giá trị nào?
A. e
B. e - 1
C. e + 1
D. 1
2. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số thuần nhất?
A. y'' + 3y' + 2y = x
B. y'' + 3y' + 2y = 0
C. y'' + 3y' + 2y^2 = 0
D. y'' + 3y' + 2 = 0
3. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'' - 4y' + 4y = 0 là:
A. y = C1e^(2x) + C2xe^(2x)
B. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
C. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
D. y = C1e^(4x) + C2e^(-x)
4. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính với vectơ u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3)?
A. w = (1, 3, 2)
B. w = (2, 4, -2)
C. w = (-1, -2, 1)
D. w = (1, 1, -4)
5. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (n=0 đến ∞) ((x-2)^n / 3^n) là:
A. (-1, 5)
B. [-1, 5)
C. (-1, 5]
D. [-1, 5]
6. Phương trình nào sau đây là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2?
A. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + u^2 = 0
B. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + xu = 0
C. (∂u/∂x)^2 + ∂^2u/∂y^2 + u = 0
D. ∂^2u/∂x^2 * ∂^2u/∂y^2 + u = 0
7. Tính tích phân bội hai ∫∫D (x + y) dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x.
A. 1/12
B. 1/6
C. 1/3
D. 1/2
8. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π có dạng:
A. a0 + ∑ (n=1 đến ∞) (an cos(nx) + bn sin(nx))
B. ∑ (n=1 đến ∞) (an cos(nx) + bn sin(nx))
C. a0 + ∑ (n=1 đến ∞) an cos(nx)
D. ∑ (n=1 đến ∞) bn sin(nx)
9. Phương trình tiếp tuyến với mặt z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, z0) có dạng:
A. z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
B. z = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
C. z - z0 = fx(x, y)(x - x0) + fy(x, y)(y - y0)
D. z - z0 = fx(x0, y0)(x + x0) + fy(x0, y0)(y + y0)
10. Tính tích phân đường loại 1 ∫C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1).
A. √2
B. 2√2
C. 3√2 / 2
D. √2 / 2
11. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình vi phân y' = 2y?
A. y = x^2
B. y = e^(2x)
C. y = sin(2x)
D. y = 2x
12. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay quanh gốc tọa độ?
A. T(x, y) = (x + y, x - y)
B. T(x, y) = (2x, 2y)
C. T(x, y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)
D. T(x, y) = (x + 1, y)
13. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:
A. (0, 0, 1)
B. (0, 0, -1)
C. (1, 0, 0)
D. (0, 1, 0)
14. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0, với A là ma trận vuông cấp n và rank(A) = r, là:
A. r
B. n
C. n - r
D. r - n
15. Cho trường vectơ F = (P, Q) = (y, -x). Tính div(F) và curl(F).
A. div(F) = 0, curl(F) = -2
B. div(F) = 0, curl(F) = 2
C. div(F) = 2, curl(F) = 0
D. div(F) = -2, curl(F) = 0
16. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - 2z = 0 biểu diễn mặt:
A. Mặt phẳng
B. Mặt trụ
C. Mặt paraboloid elliptic
D. Mặt hyperboloid
17. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương ∑ a_n hội tụ là:
A. lim (n→∞) a_n = 0
B. Chuỗi bị chặn trên
C. Tổng riêng hội tụ
D. Dãy tổng riêng bị chặn trên
18. Ma trận A vuông cấp n khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < n
D. Tất cả các giá trị riêng của A bằng 0
19. Tích phân ∫ (e^x / (1 + e^(2x))) dx bằng:
A. arctan(e^x) + C
B. ln(1 + e^(2x)) + C
C. arcsin(e^x) + C
D. arccos(e^x) + C
20. Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
A. y' + p(x)y = q(x)
B. y' + p(x)y = q(x)y^n
C. y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)
D. y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
21. Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = x^2 + y^2 và z = 4 là:
22. Tích phân đường loại 2 ∫C (x^2 dy - y^2 dx) trên đường cong C là đường tròn x^2 + y^2 = R^2, ngược chiều kim đồng hồ, bằng:
A. πR^4
B. 2πR^4
C. 3πR^4
D. 4πR^4
23. Chuỗi số ∑ (n=1 đến ∞) ((-1)^n / n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 0
B. p ≥ 0
C. p > 1
D. p ≥ 1
24. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:
25. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
26. Đường cong nào sau đây là đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2?
A. Đường thẳng
B. Đường parabol
C. Đường hypebol
D. Đường tròn
27. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] là:
A. 1 và 2
B. 1 và 3
C. 2 và 3
D. 0 và 3
28. Hàm số f(x, y) = x^2 - y^2 tại điểm (0, 0) có:
A. Cực đại địa phương
B. Cực tiểu địa phương
C. Điểm yên ngựa
D. Không phải điểm dừng
29. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1} là:
30. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy^2 + e^(x^2y) theo biến x tại điểm (1, 0) là:
