Đề 6 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Chuỗi ∑ (n=1 đến ∞) (1 / n!) hội tụ về giá trị nào?

A. e

B. e - 1

C. e + 1

D. 1

2. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số thuần nhất?

A. y`` + 3y` + 2y = x

B. y`` + 3y` + 2y = 0

C. y`` + 3y` + 2y^2 = 0

D. y`` + 3y` + 2 = 0

3. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` - 4y` + 4y = 0 là:

A. y = C1e^(2x) + C2xe^(2x)

B. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)

C. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)

D. y = C1e^(4x) + C2e^(-x)

4. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính với vectơ u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3)?

A. w = (1, 3, 2)

B. w = (2, 4, -2)

C. w = (-1, -2, 1)

D. w = (1, 1, -4)

5. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (n=0 đến ∞) ((x-2)^n / 3^n) là:

A. (-1, 5)

B. [-1, 5)

C. (-1, 5]

D. [-1, 5]

6. Phương trình nào sau đây là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2?

A. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + u^2 = 0

B. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + xu = 0

C. (∂u/∂x)^2 + ∂^2u/∂y^2 + u = 0

D. ∂^2u/∂x^2 * ∂^2u/∂y^2 + u = 0

7. Tính tích phân bội hai ∫∫D (x + y) dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x.

A. 1/12

B. 1/6

C. 1/3

D. 1/2

8. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π có dạng:

A. a0 + ∑ (n=1 đến ∞) (an cos(nx) + bn sin(nx))

B. ∑ (n=1 đến ∞) (an cos(nx) + bn sin(nx))

C. a0 + ∑ (n=1 đến ∞) an cos(nx)

D. ∑ (n=1 đến ∞) bn sin(nx)

9. Phương trình tiếp tuyến với mặt z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, z0) có dạng:

A. z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)

B. z = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)

C. z - z0 = fx(x, y)(x - x0) + fy(x, y)(y - y0)

D. z - z0 = fx(x0, y0)(x + x0) + fy(x0, y0)(y + y0)

10. Tính tích phân đường loại 1 ∫C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1).

A. √2

B. 2√2

C. 3√2 / 2

D. √2 / 2

11. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình vi phân y` = 2y?

A. y = x^2

B. y = e^(2x)

C. y = sin(2x)

D. y = 2x

12. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay quanh gốc tọa độ?

A. T(x, y) = (x + y, x - y)

B. T(x, y) = (2x, 2y)

C. T(x, y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)

D. T(x, y) = (x + 1, y)

13. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:

A. (0, 0, 1)

B. (0, 0, -1)

C. (1, 0, 0)

D. (0, 1, 0)

14. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0, với A là ma trận vuông cấp n và rank(A) = r, là:

A. r

B. n

C. n - r

D. r - n

15. Cho trường vectơ F = (P, Q) = (y, -x). Tính div(F) và curl(F).

A. div(F) = 0, curl(F) = -2

B. div(F) = 0, curl(F) = 2

C. div(F) = 2, curl(F) = 0

D. div(F) = -2, curl(F) = 0

16. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - 2z = 0 biểu diễn mặt:

A. Mặt phẳng

B. Mặt trụ

C. Mặt paraboloid elliptic

D. Mặt hyperboloid

17. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương ∑ a_n hội tụ là:

A. lim (n→∞) a_n = 0

B. Chuỗi bị chặn trên

C. Tổng riêng hội tụ

D. Dãy tổng riêng bị chặn trên

18. Ma trận A vuông cấp n khả nghịch khi và chỉ khi:

A. det(A) = 0

B. det(A) ≠ 0

C. rank(A) < n

D. Tất cả các giá trị riêng của A bằng 0

19. Tích phân ∫ (e^x / (1 + e^(2x))) dx bằng:

A. arctan(e^x) + C

B. ln(1 + e^(2x)) + C

C. arcsin(e^x) + C

D. arccos(e^x) + C

20. Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:

A. y` + p(x)y = q(x)

B. y` + p(x)y = q(x)y^n

C. y`` + p(x)y` + q(x)y = r(x)

D. y`` + p(x)y` + q(x)y = 0

21. Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = x^2 + y^2 và z = 4 là:

A. 2π

B. 4π

C. 8π

D. 16π

22. Tích phân đường loại 2 ∫C (x^2 dy - y^2 dx) trên đường cong C là đường tròn x^2 + y^2 = R^2, ngược chiều kim đồng hồ, bằng:

A. πR^4

B. 2πR^4

C. 3πR^4

D. 4πR^4

23. Chuỗi số ∑ (n=1 đến ∞) ((-1)^n / n^p) hội tụ khi và chỉ khi:

A. p > 0

B. p ≥ 0

C. p > 1

D. p ≥ 1

24. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

25. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 0) và (-1, -1)

C. (1, 0) và (0, 1)

D. Không có điểm dừng

26. Đường cong nào sau đây là đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2?

A. Đường thẳng

B. Đường parabol

C. Đường hypebol

D. Đường tròn

27. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] là:

A. 1 và 2

B. 1 và 3

C. 2 và 3

D. 0 và 3

28. Hàm số f(x, y) = x^2 - y^2 tại điểm (0, 0) có:

A. Cực đại địa phương

B. Cực tiểu địa phương

C. Điểm yên ngựa

D. Không phải điểm dừng

29. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1} là:

A. 1

B. √2

C. 2

D. 2√2

30. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy^2 + e^(x^2y) theo biến x tại điểm (1, 0) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3