1. Trong phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận, phép biến đổi nào sau đây KHÔNG làm thay đổi không gian hàng của ma trận?
A. Nhân một hàng với một số khác 0.
B. Đổi chỗ hai hàng cho nhau.
C. Cộng một bội của hàng này vào hàng khác.
D. Xóa một hàng toàn số 0.
2. Phương trình vi phân y'' + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
B. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
C. y = (C1 + C2x)e^(2x)
D. y = (C1 + C2x)cos(2x)
3. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường của trường vectơ dọc theo đường cong kín và tích phân mặt của curl của trường vectơ trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân mặt của trường vectơ qua mặt kín và tích phân bội ba của divergence của trường vectơ trong miền giới hạn bởi mặt đó.
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
D. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
4. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân mặt của trường vectơ qua mặt kín và tích phân bội ba của divergence của trường vectơ trong miền giới hạn bởi mặt đó.
B. Tích phân đường của trường vectơ dọc theo đường cong kín và tích phân bội hai của curl của trường vectơ trên miền giới hạn bởi đường cong đó.
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
D. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
5. Curl của trường vectơ F đo đại lượng vật lý nào?
A. Độ xoáy cục bộ của trường vectơ.
B. Nguồn hoặc hố của trường vectơ.
C. Thông lượng của trường vectơ.
D. Công thực hiện bởi trường vectơ.
6. Tính chất nào sau đây KHÔNG đúng về đạo hàm riêng?
A. Nếu hàm số khả vi tại một điểm thì hàm số liên tục tại điểm đó.
B. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì hàm số khả vi tại điểm đó.
C. Đạo hàm riêng đo tốc độ biến thiên của hàm số theo từng biến.
D. Thứ tự đạo hàm riêng hỗn hợp không quan trọng nếu chúng liên tục.
7. Không gian con của không gian vectơ V là gì?
A. Một tập con của V đóng kín đối với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.
B. Một tập con của V chứa vectơ không.
C. Một tập con của V có số chiều nhỏ hơn số chiều của V.
D. Một tập con bất kỳ của V.
8. Cho hàm số f(x, y) = x^2y + xy^2. Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y bằng biểu thức nào?
A. 2x + 2y
B. 2y + 2x
C. 4xy
D. 0
9. Cho ma trận A vuông cấp n. Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. Rank(A) < n
D. Tất cả các giá trị riêng của A bằng 0.
10. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo hệ có nghiệm không tầm thường?
A. det(A) = 0
B. Rank(A) < n
C. Các cột của A phụ thuộc tuyến tính.
D. Ma trận A khả nghịch.
11. Hạng của ma trận (Rank) có ý nghĩa gì?
A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.
B. Định thức của ma trận.
C. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
D. Số hàng của ma trận.
12. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để giải phương trình vi phân:
A. Tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng.
B. Tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng.
C. Tuyến tính cấp một.
D. Phi tuyến cấp hai.
13. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' - 2y = 0 là:
A. y = Ce^(2x)
B. y = Ce^(-2x)
C. y = C + e^(2x)
D. y = C + e^(-2x)
14. Trong không gian vectơ, một tập hợp các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0.
B. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không khi tồn tại ít nhất một hệ số khác 0.
C. Các vectơ đó vuông góc đôi một.
D. Các vectơ đó có độ dài bằng 1.
15. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA trên miền D = [0, 1] x [0, 2] bằng:
16. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA được sử dụng để tính:
A. Diện tích của miền D.
B. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) trên miền D.
C. Độ dài đường cong bao quanh miền D.
D. Gradiant của hàm f(x, y).
17. Để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất, phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để tìm nghiệm riêng?
A. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
B. Phương pháp hệ số bất định.
C. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
D. Phương pháp biến đổi Laplace.
18. Định thức của ma trận vuông có tính chất nào sau đây?
A. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu.
B. Định thức của tích hai ma trận bằng tổng định thức của hai ma trận đó.
C. Định thức của ma trận đơn vị bằng 0.
D. Định thức của ma trận tam giác luôn khác 0.
19. Trong không gian R^2, cho hai vectơ u = (a, b) và v = (c, d). Điều kiện để u và v trực giao là:
A. ac + bd = 0
B. ac - bd = 0
C. ad + bc = 0
D. ad - bc = 0
20. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0.
B. Các giá trị λ thỏa mãn det(A + λI) = 0.
C. Các giá trị λ thỏa mãn det(λA - I) = 0.
D. Các giá trị λ thỏa mãn det(λI) = 0.
21. Trong phép tính tích phân đường loại 2, hướng của đường cong có vai trò:
A. Không quan trọng, kết quả tích phân luôn như nhau.
B. Quan trọng, đổi hướng đường cong thì giá trị tích phân đổi dấu.
C. Chỉ quan trọng khi đường cong kín.
D. Chỉ quan trọng khi hàm số dưới dấu tích phân là hàm vectơ.
22. Trong không gian vectơ R^3, cho vectơ u = (1, -2, 3) và v = (0, 1, -1). Tích có hướng của u và v (u x v) là vectơ nào?
A. (-1, 1, 1)
B. (1, 1, 1)
C. (-1, -1, 1)
D. (1, -1, -1)
23. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân bội hai trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân mặt trên mặt kín và tích phân bội ba trên miền không gian giới hạn bởi mặt đó.
C. Tích phân đường loại 2 và tích phân đường loại 1.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
24. Cho hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng cấp nhất liên tục. Vectơ gradient ∇f(x_0, y_0) tại điểm (x_0, y_0) có hướng:
A. Hướng mà tại đó hàm số f giảm nhanh nhất.
B. Hướng mà tại đó hàm số f không đổi.
C. Hướng mà tại đó hàm số f tăng nhanh nhất.
D. Hướng vuông góc với mặt phẳng xy.
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y' + sin(y) = x
B. y'' + 2y' - y = e^x
C. y' + xy = x^2
D. (y')^2 + y = x
26. Giá trị riêng của ma trận tam giác có tính chất gì?
A. Là các phần tử trên đường chéo chính.
B. Luôn bằng 0.
C. Luôn là số thực dương.
D. Luôn khác 0.
27. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (-1, -1)
D. Không có điểm dừng.
28. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để trường vectơ F là trường bảo toàn?
A. curl(F) = 0
B. div(F) = 0
C. grad(div(F)) = 0
D. laplacian(F) = 0
29. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y, z) ds phụ thuộc vào:
A. Hướng của đường cong C.
B. Tham số hóa của đường cong C.
C. Hình dạng và mật độ của đường cong C.
D. Vị trí bắt đầu và kết thúc của đường cong C.
30. Tích phân ∫_C F · dr, với F là trường vectơ và C là đường cong, biểu diễn:
A. Công thực hiện bởi trường lực F dọc theo đường cong C.
B. Thông lượng của trường vectơ F qua đường cong C.
C. Diện tích giới hạn bởi đường cong C.
D. Thể tích tạo ra khi quay miền giới hạn bởi C quanh trục.
