Đề 1 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 2

1. Diện tích mặt tham số S được cho bởi r(u, v), được tính bằng công thức nào?

A. ∬[D] ||rᵤ × rᵥ|| dA

B. ∬[D] (rᵤ · rᵥ) dA

C. ∬[D] ||rᵤ + rᵥ|| dA

D. ∬[D] ||rᵤ - rᵥ|| dA

2. Hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy có điểm dừng tại:

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 0) và (-1, -1)

C. (1, 0) và (0, 1)

D. Không có điểm dừng

3. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox là:

A. π∕5

B. π∕3

C. π∕2

D. π

4. Giá trị của tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1∕x²) dx là:

A. 1

B. 0

C. ∞

D. Không xác định

5. Công thức nào sau đây là công thức Green?

A. ∫[C] (P dx + Q dy) = ∬[D] (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA

B. ∫[C] F · dr = ∫∫[S] (∇ × F) · n dS

C. ∫∫[S] F · n dS = ∭[V] ∇ · F dV

D. ∫[a, b] f′(x) dx = f(b) - f(a)

6. Điều kiện để chuỗi số dương ∑ aₙ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn là gì?

A. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = c > 0 và ∑ bₙ hội tụ

B. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = 0 và ∑ bₙ hội tụ

C. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = ∞ và ∑ bₙ hội tụ

D. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = c > 0 và ∑ bₙ phân kỳ

7. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:

A. y = x² + C

B. y = 2x² + C

C. y = e²ˣ + C

D. y = ln|2x| + C

8. Tích phân đường loại 2 ∫[C] P dx + Q dy phụ thuộc vào yếu tố nào?

A. Đường cong C và hàm số P, Q

B. Điểm đầu và điểm cuối của C

C. Diện tích miền giới hạn bởi C

D. Chỉ hàm số P, Q

9. Trong tọa độ cực, tích phân bội hai ∫∫[D] f(x, y) dA chuyển thành:

A. ∫∫[R] f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ

B. ∫∫[R] f(r cosθ, r sinθ) dr dθ

C. ∫∫[R] f(r, θ) r dr dθ

D. ∫∫[R] f(r, θ) dr dθ

10. Giá trị của tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx bằng bao nhiêu?

A. 1∕4

B. 1∕3

C. 1∕2

D. 1

11. Để tính diện tích miền D giới hạn bởi y = x² và y = x, ta dùng tích phân nào?

A. ∫[0, 1] (x - x²) dx

B. ∫[0, 1] (x² - x) dx

C. ∫[0, 1] (x + x²) dx

D. ∫[0, 1] √(x - x²) dx

12. Phương trình vi phân y′` + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:

A. y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

B. y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ

C. y = C₁cos(4x) + C₂sin(4x)

D. y = C₁e⁴ˣ + C₂e⁻⁴ˣ

13. Hàm số f(x, y) = x² - y² có điểm yên ngựa tại:

A. (0, 0)

B. (1, 0)

C. (0, 1)

D. Không có điểm yên ngựa

14. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′` - y = eˣ có dạng:

A. yₚ = Axeˣ

B. yₚ = Aeˣ

C. yₚ = Ax²eˣ

D. yₚ = A

15. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (x∕2)ⁿ là:

A. (-2, 2)

B. [-2, 2]

C. (-∞, ∞)

D. {0}

16. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:

A. x² + C

B. x² + x + C

C. 2x² + x + C

D. 2 + C

17. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ⁺¹ ∕ n là chuỗi gì?

A. Chuỗi điều hòa

B. Chuỗi điều hòa đan dấu

C. Chuỗi hình học

D. Chuỗi p

18. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1∕n²) hội tụ hay phân kỳ?

A. Hội tụ

B. Phân kỳ

C. Không xác định

D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ

19. Hàm số f(x, y) = eˣ² ⁺ ʸ² có cực trị tại điểm nào?

A. (0, 0)

B. (1, 1)

C. (-1, -1)

D. Không có cực trị

20. Chuỗi Taylor của hàm số sin(x) tại x = 0 là:

A. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!

B. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × x²ⁿ ∕ (2n)!

C. ∑[n=0, ∞] xⁿ ∕ n!

D. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!

21. Tích phân bội hai ∫∫[D] xy dA, với D là hình vuông [0, 1] × [0, 1], bằng:

A. 1∕4

B. 1∕2

C. 1

D. 2

22. Phương trình vi phân y′` + 3y′ + 2y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:

A. y = C₁e⁻ˣ + C₂e⁻²ˣ

B. y = C₁eˣ + C₂e²ˣ

C. y = C₁cos(x) + C₂sin(2x)

D. y = C₁cos(2x) + C₂sin(x)

23. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?

A. y′` + y′² = x

B. y′ + xy = sin(x)

C. yy′ + x = 0

D. y′ = √(y+x)

24. Giá trị hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (xⁿ ∕ n!) là hàm số nào?

A. eˣ

B. sin(x)

C. cos(x)

D. ln(1 + x)

25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?

A. dy∕dx = xy

B. dy∕dx = x + y

C. dy∕dx = x² + y²

D. dy∕dx = sin(x + y)

26. Phương trình vi phân y′` + 2y′ + y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:

A. y = (C₁ + C₂x)e⁻ˣ

B. y = C₁e⁻ˣ + C₂eˣ

C. y = C₁cos(x) + C₂sin(x)

D. y = C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻ˣ

27. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x²y + xy² theo biến x là:

A. 2xy + y²

B. x² + 2xy

C. 2x + 2y

D. 2xy

28. Tích phân mặt ∫∫[S] F · n dS tính đại lượng nào?

A. Thông lượng (flux) của trường vector F qua mặt S

B. Công của trường vector F dọc theo biên của S

C. Diện tích mặt S

D. Thể tích khối giới hạn bởi S

29. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (n ∕ (n² + 1)) so sánh với chuỗi nào để xét hội tụ?

A. ∑ (1∕n)

B. ∑ (1∕n²)

C. ∑ (1∕2ⁿ)

D. ∑ (1∕n³)

30. Tích phân đường loại 1 ∫[C] f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, được tính như thế nào?

A. Tham số hóa đường C, tính độ dài vi phân ds và thay vào tích phân.

B. Tính trực tiếp tích phân theo x hoặc y.

C. Sử dụng định lý Green.

D. Tính tích phân kép trên miền giới hạn bởi C.