1. Tính chất giao hoán của đạo hàm riêng hỗn hợp là:
A. fₓy = fyₓ
B. fₓₓ = fyy
C. fₓy = -fyₓ
D. fₓₓ = -fyy
2. Chuỗi số ∑(1∕nᵅ) hội tụ khi và chỉ khi:
A. α > 0
B. α ≥ 1
C. α > 1
D. α < 1
3. Thể tích khối trụ cong giới hạn bởi mặt z = f(x, y) ≥ 0 trên miền D trong mặt phẳng xy được tính bằng:
A. ∫∫_D f(x, y) dxdy
B. ∫_D f(x, y) dx
C. ∫_D f(x, y) dy
D. ∬_D dA
4. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x² + y² là:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
5. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds với C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b được tính bằng công thức:
A. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) dt
B. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) ||r′(t)|| dt
C. ∫[a,b] f(x′(t), y′(t)) ||r(t)|| dt
D. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) ||r(t)|| dt
6. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy phụ thuộc vào đường đi C khi nào?
A. Luôn phụ thuộc vào đường đi
B. Không phụ thuộc vào đường đi
C. Phụ thuộc vào đường đi khi ∂Q∕∂x ≠ ∂P∕∂y
D. Phụ thuộc vào đường đi khi ∂Q∕∂y ≠ ∂P∕∂x
7. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑(xⁿ∕n!) từ n=0 đến ∞
B. ∑(xⁿ) từ n=0 đến ∞
C. ∑((-1)ⁿ × xⁿ∕n!) từ n=0 đến ∞
D. ∑((-1)ⁿ × xⁿ) từ n=0 đến ∞
8. Điều kiện để hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại (x0, y0) là:
A. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0, Δ > 0, fₓₓ(x0, y0) > 0
B. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0, Δ > 0, fₓₓ(x0, y0) < 0
C. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0, Δ < 0
D. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0, Δ = 0
9. Nghiệm của phương trình vi phân y′ = 0 là:
A. y = C
B. y = x + C
C. y = 0
D. Không có nghiệm
10. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y′ + xy = x²
B. y′ = x + y
C. y′ = xy
D. y′ = x² + y²
11. Giá trị của tích phân suy rộng ∫[0, +∞) e⁻ˣ dx là:
12. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π∫[0,1] x² dx
B. π∫[0,1] (x²)² dx
C. ∫[0,1] (x²)² dx
D. ∫[0,1] x² dx
13. Cho trường vectơ F = (P, Q) = (y, -x). Tính div(F) = ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y:
14. Phương trình Laplace trong hai chiều là:
A. ∂^2u∕∂x² + ∂^2u∕∂y² = 0
B. ∂u∕∂t - α(∂^2u∕∂x²) = 0
C. ∂^2u∕∂t² - c²(∂^2u∕∂x²) = 0
D. ∂u∕∂x + ∂u∕∂y = 0
15. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′' + 4y = 0 là:
A. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
B. y = C1e²ˣ + C2e⁻²ˣ
C. y = C1cos(4x) + C2sin(4x)
D. y = C1e⁴ˣ + C2e⁻⁴ˣ
16. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(xⁿ∕n!) là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. [0, +∞)
17. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy theo x hai lần là:
A. 6x
B. 6y
C. 3x² - 3y
D. -3x
18. Tính chất tuyến tính của phép tích phân xác định là:
A. ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx × ∫[a,b] g(x) dx
B. ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx
C. ∫[a,b] cf(x) dx = c + ∫[a,b] f(x) dx
D. ∫[a,b] cf(x) dx = f(c)∫[a,b] f(x) dx
19. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x là:
A. x + C
B. x² + C
C. 2x² + C
D. 2 + C
20. Hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x có cực tiểu địa phương tại điểm:
A. (0, 0)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (1, 1)
21. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y′ + y² = x
B. y′ + xy = sin(x)
C. y′' + y = 0
D. yy′ + x = 0
22. Cho hàm số f(x) = x³. Vi phân toàn phần df là:
A. 3x dx
B. 3x² dx
C. x³ dx
D. dx
23. Tích phân lặp ∫[0,1] ∫[0,x] xy dy dx bằng:
A. 1∕8
B. 1∕4
C. 1∕2
D. 1
24. Trong tọa độ cực, Jacobian của phép biến đổi từ (r, θ) sang (x, y) là:
A. r
B. r²
C. sin(θ)
D. cos(θ)
25. Tích phân suy rộng ∫[1, +∞) (1∕x²) dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
D. Không xác định
26. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân kép
B. Tích phân kép và tích phân bội ba
C. Tích phân mặt và tích phân đường
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba
27. Tích phân ∫∫_D dxdy, với D là miền giới hạn bởi y = x, y = 0, x = 1 biểu diễn điều gì?
A. Diện tích miền D
B. Thể tích khối trụ đáy D, chiều cao 1
C. Độ dài đường biên miền D
D. Mômen quán tính miền D
28. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. ∑(n∕(n+1))
B. ∑(1∕√n)
C. ∑(1∕n!)
D. ∑(n)
29. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′ - 2y = e²ˣ có dạng:
A. Ae²ˣ
B. Axe²ˣ
C. Ax
D. A
30. Điều kiện hội tụ của chuỗi hình học ∑(arⁿ) là:
A. |r| > 1
B. |r| ≥ 1
C. |r| < 1
D. r < 1
