1. Để tính tích phân ∫∫_D eˣ^²⁺ʸ^² dA trên miền D là hình tròn x² + y² ≤ R², hệ tọa độ nào là hiệu quả nhất?
A. Tọa độ Descartes.
B. Tọa độ trụ.
C. Tọa độ cầu.
D. Tọa độ cong.
2. Hàm thế vị của trường vectơ F = <2x, 2y> là hàm nào?
A. f(x, y) = x + y
B. f(x, y) = x² + y²
C. f(x, y) = 2x + 2y
D. f(x, y) = xy
3. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường của một trường vectơ F dọc theo đường cong kín C với tích phân mặt nào trên mặt S có biên là C?
A. Tích phân mặt của trường vectơ F.
B. Tích phân mặt của curl(F).
C. Tích phân mặt của div(F).
D. Tích phân mặt của grad(F).
4. Curl của một trường vectơ F = (P, Q, R) là gì?
A. Một số vô hướng.
B. Một vectơ trường.
C. Một đường cong.
D. Một mặt phẳng.
5. Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để một trường vectơ F = (P, Q) là trường bảo toàn trên một miền liên thông D?
A. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y = 0
D. P dx + Q dy = 0
6. Trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z), yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. dV = dx dy dz
B. dV = r dr dθ dz
C. dV = r² sin φ dr dθ dφ
D. dV = dr dθ dz
7. Công thức nào sau đây KHÔNG phải là công thức đổi biến trong tích phân bội hai?
A. ∫∫_D f(x, y) dA = ∫∫_(D*) f(g(u, v), h(u, v)) |J(u, v)| du dv
B. ∫∫_D f(x, y) dA = ∫∫_(D*) f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ
C. ∫∫_D f(x, y) dA = ∫∫_(D*) f(u, v) du dv
D. ∫∫_D f(x, y) dx dy = ∫_(a)ᵇ ∫_(c)ᵈ f(x, y) dy dx
8. Divergence của một trường vectơ F = (P, Q, R) là gì?
A. Một vectơ trường.
B. Một số vô hướng.
C. Một đường cong.
D. Một mặt phẳng.
9. Trong hệ tọa độ cầu (ρ, θ, φ), yếu tố diện tích dS trên mặt cầu bán kính a được biểu diễn như thế nào?
A. dS = dx dy
B. dS = r dr dθ
C. dS = ρ² sin φ dφ dθ
D. dS = a² sin φ dφ dθ
10. Trong tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy, ý nghĩa vật lý nào thường được liên kết với biểu thức này?
A. Diện tích bao quanh đường cong C.
B. Công thực hiện bởi trường lực F = (P, Q) khi di chuyển dọc theo đường cong C.
C. Thông lượng của trường vectơ F qua đường cong C.
D. Độ dài của đường cong C.
11. Gradient của một hàm vô hướng f(x, y, z) là gì?
A. Một số vô hướng.
B. Một vectơ trường.
C. Một đường cong.
D. Một mặt phẳng.
12. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để sử dụng Định lý Green?
A. C là đường cong kín, đơn giản, định hướng dương.
B. C nằm trong mặt phẳng xy.
C. P và Q có đạo hàm riêng liên tục trên miền D bao bởi C.
D. Miền D phải là hình tròn.
13. Trong tọa độ cầu, góc φ được đo từ trục nào?
A. Trục x.
B. Trục y.
C. Trục z dương.
D. Mặt phẳng xy.
14. Cho đường cong C tham số hóa bởi r(t) = với 0 ≤ t ≤ 2π. Tính độ dài của đường cong C.
A. 2π
B. 2π√2
C. 4π
D. π√2
15. Giá trị của tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds KHÔNG phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Hàm f(x, y).
B. Đường cong C.
C. Hướng đi trên đường cong C.
D. Tham số hóa của đường cong C.
16. Cho trường vectơ F = . Tính thông lượng của F qua mặt cầu đơn vị S hướng ra ngoài.
A. 0
B. 4π
C. 4π∕3
D. 4π²
17. Để tính thể tích của một vật thể đặc giới hạn bởi mặt trụ x² + y² = 4 và các mặt phẳng z = 0, z = 3, hệ tọa độ nào là phù hợp nhất?
A. Tọa độ Descartes.
B. Tọa độ trụ.
C. Tọa độ cầu.
D. Tọa độ cong.
18. Tích phân ∫_0¹ ∫_0ˣ f(x, y) dy dx có thể viết lại với thứ tự tích phân ngược lại là:
A. ∫_0¹ ∫_0ʸ f(x, y) dx dy
B. ∫_0¹ ∫_y¹ f(x, y) dx dy
C. ∫_0ˣ ∫_0¹ f(x, y) dx dy
D. ∫_0¹ ∫_0¹ f(x, y) dx dy
19. Mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = với u² + v² ≤ 1. Tính diện tích mặt S.
A. π
B. π∕2
C. π(5√5 - 1)∕6
D. 2π
20. Chọn phát biểu SAI về tích phân đường loại 2.
A. Giá trị của tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào hướng đi của đường cong.
B. Tích phân đường loại 2 có thể biểu diễn công thực hiện bởi một trường lực.
C. Tích phân đường loại 2 luôn dương.
D. Tích phân đường loại 2 có thể tính cho đường cong trong không gian.
21. Cho trường vectơ F = . Biểu thức nào sau đây là curl(F)?
A. (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z)
B. <∂R∕∂y - ∂Q∕∂z, ∂P∕∂z - ∂R∕∂x, ∂Q∕∂x - ∂P∕∂y>
C. ∇f
D. ∫∫_S F · n dS
22. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên một đường cong kín C với tích phân nào trên miền D được bao bởi C?
A. Tích phân đường loại 1.
B. Tích phân mặt loại 1.
C. Tích phân bội hai.
D. Tích phân bội ba.
23. Tính tích phân đường ∫_C x dy, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
24. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_E z dV, với E là khối hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
25. Cho trường vectơ F = <2x, 2y>. Tính divergence của F tại điểm (1, 1).
A. 2
B. 4
C. 0
D. Không xác định.
26. Định lý Divergence liên hệ tích phân mặt của một trường vectơ F qua một mặt kín S với tích phân nào trong thể tích V được bao bởi S?
A. Tích phân bội hai của F.
B. Tích phân bội ba của F.
C. Tích phân bội ba của div(F).
D. Tích phân bội ba của curl(F).
27. Trong hệ tọa độ Descartes, tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì về mặt hình học khi f(x, y) ≥ 0?
A. Diện tích của miền D.
B. Thể tích của khối trụ có đáy D và chiều cao f(x, y) tại mỗi điểm (x, y) thuộc D.
C. Độ dài đường cong bao quanh miền D.
D. Giá trị trung bình của hàm f(x, y) trên miền D.
28. Tích phân mặt ∫∫_S f(x, y, z) dS tính đại lượng nào khi f(x, y, z) = 1?
A. Thể tích của miền giới hạn bởi mặt S.
B. Diện tích của mặt S.
C. Độ dài đường biên của mặt S.
D. Giá trị trung bình của hàm f trên mặt S.
29. Công thức nào sau đây biểu diễn Định lý Divergence?
A. ∫_C F · dr = ∫∫_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∫_C F · dr = ∫∫_S curl(F) · dS
C. ∫∫_S F · dS = ∫∫∫_E div(F) dV
D. ∫∫_S f(x, y, z) dS = ∫∫_D f(r(u, v)) |rᵤ x rᵥ| dA
30. Cho trường vectơ F = ←y, x, z>. Tính curl của F.
A. <0, 0, 0>
B. <0, 0, 2>
C. <1, -1, 0>
D. <2, 0, 0>
