1. Trong tọa độ trụ (r, θ, z), yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. dr dθ dz
B. r dr dθ dz
C. r² dr dθ dz
D. r dz dr dθ
2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có nghiệm tầm thường luôn tồn tại. Nghiệm tầm thường đó là gì?
A. Nghiệm bằng 0
B. Nghiệm hằng số
C. Nghiệm tuyến tính
D. Nghiệm hàm mũ
3. Công thức nào sau đây biểu diễn định lý Divergence (Gauss)?
A. ∫∫_S F⋅dS = ∫∫∫_E div F dV
B. ∫∫_S curl F⋅dS = ∫_∂S F⋅dr
C. ∫_∂S F⋅dr = ∫∫_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
D. ∫_C ∇f⋅dr = f(r(b)) - f(r(a))
4. Để tính thể tích của một vật thể rắn E trong không gian, ta sử dụng loại tích phân nào?
A. Tích phân đường
B. Tích phân mặt
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân kép
5. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ cₙ (x-a)ⁿ có bán kính hội tụ R. Nếu R = 0, chuỗi hội tụ tại điểm nào?
A. Chỉ tại x = a
B. Mọi x
C. Không hội tụ tại điểm nào
D. Tại mọi x ≠ a
6. Nếu curl F = 0 trên một miền đơn liên D, điều gì có thể kết luận về trường vectơ F?
A. F là trường vectơ bảo toàn
B. F là trường vectơ solenoidal
C. F có divergence bằng 0
D. Không kết luận được gì
7. Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. Hình dạng của đường cong C là gì?
A. Đường tròn
B. Đường xoắn ốc
C. Đoạn thẳng
D. Parabol
8. Chuỗi Taylor của hàm eˣ tại x = 0 là chuỗi nào?
A. ∑_(n=0)^∞ (xⁿ)∕(n!)
B. ∑_(n=0)^∞ xⁿ
C. ∑_(n=1)^∞ (xⁿ)∕(n!)
D. ∑_(n=0)^∞ (-1)ⁿ (xⁿ)∕(n!)
9. Cho trường vectơ F = (-y, x). Tính curl F.
A. 2
B. 0
C. (-1, 1)
D. (1, -1)
10. Tích phân suy rộng ∫_(1)^∞ (1∕xᵖ) dx hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
11. Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π biểu diễn hàm f(x) dưới dạng tổng của các hàm số nào?
A. sin(nx) và cos(nx)
B. xⁿ
C. eⁱⁿˣ
D. Đa thức
12. Trong tọa độ cực (r, θ), yếu tố diện tích dA được biểu diễn như thế nào?
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r² dr dθ
D. dθ dr
13. Biến đổi Laplace được ứng dụng hiệu quả nhất trong việc giải loại phương trình nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với điều kiện đầu
B. Phương trình vi phân tách biến
C. Phương trình vi phân không tuyến tính
D. Phương trình đạo hàm riêng
14. Tích phân đường loại hai ∫_C Pdx + Qdy được tính bằng công thức nào khi đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b?
A. ∫_aᵇ [P(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t)] dt
B. ∫_aᵇ [P(x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t))] dt
C. ∫_aᵇ √[P(x(t), y(t))² + Q(x(t), y(t))²] dt
D. ∫_aᵇ [P(x′(t), y′(t)) + Q(x′(t), y′(t))] dt
15. Phương pháp biến thiên hằng số dùng để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân loại nào?
A. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
B. Phương trình tuyến tính thuần nhất
C. Phương trình tách biến
D. Phương trình Bernoulli
16. Phương trình vi phân y′' + 4y′ + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai loại gì?
A. Thuần nhất, hệ số hằng
B. Không thuần nhất, hệ số hằng
C. Thuần nhất, hệ số biến đổi
D. Không tuyến tính
17. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện cần để một trường vectơ F là trường vectơ bảo toàn trên một miền đơn liên?
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. F = ∇f cho một hàm vô hướng f
D. ∫_C F⋅dr = 0 với mọi đường cong kín C
18. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt của curl của một trường vectơ với tích phân nào?
A. Tích phân đường của trường vectơ đó dọc theo biên của mặt
B. Tích phân mặt của trường vectơ đó trên cùng mặt
C. Tích phân khối của divergence của trường vectơ
D. Tích phân đường của gradient của trường vectơ
19. Biến đổi Laplace của hàm f(t) = 1 là gì?
A. 1∕s
B. 1
C. s
D. Không xác định
20. Tiêu chuẩn nào sau đây KHÔNG dùng để xét sự hội tụ của chuỗi dương?
A. Tiêu chuẩn so sánh
B. Tiêu chuẩn tỷ số D′Alembert
C. Tiêu chuẩn Leibniz
D. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy
21. Trong không gian ba chiều, gradient của một hàm vô hướng f(x, y, z) là một đại lượng gì?
A. Hàm vô hướng
B. Trường vectơ
C. Số thực
D. Đường cong
22. Tích phân đường loại một ∫_C f(x, y) ds được dùng để tính đại lượng nào?
A. Công của trường vectơ
B. Thông lượng của trường vectơ
C. Khối lượng của dây cong với mật độ f(x, y)
D. Diện tích bề mặt
23. Cho trường vectơ F = (P, Q, R). Biểu thức nào sau đây biểu diễn divergence của F?
A. ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z
B. ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y - ∂R∕∂z
C. ∂P∕∂x - ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z
D. ∂P∕∂y - ∂Q∕∂x
24. Trong tọa độ cầu (ρ, θ, φ), yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. ρ² sin(φ) dρ dθ dφ
B. ρ² dρ dθ dφ
C. ρ sin(φ) dρ dθ dφ
D. dρ dθ dφ
25. Tích phân ∫∫_R f(x, y) dA, với R là miền hình chữ nhật [a, b] x [c, d], có thể được viết dưới dạng tích phân lặp nào?
A. ∫_aᵇ ∫_cᵈ f(x, y) dy dx
B. ∫_cᵈ ∫_aᵇ f(x, y) dx dy
C. Cả Answer 1 và Answer 2
D. Không có đáp án đúng
26. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = ky (k là hằng số) có dạng nào?
A. y(x) = Ceᵏˣ
B. y(x) = C + kx
C. y(x) = Ce⁻ᵏˣ
D. y(x) = C
27. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1∕nᵖ) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
28. Cho hàm f(x, y) = x² + y². Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).
A. (2, 4)
B. (2x, 2y)
C. (5)
D. (4, 2)
29. Để tính diện tích bề mặt của một mặt S được tham số hóa bởi r(u, v), ta sử dụng công thức nào?
A. ∫∫_D ||rᵤ × rᵥ|| dA
B. ∫∫_D ||rᵤ + rᵥ|| dA
C. ∫∫_D (rᵤ × rᵥ) dA
D. ∫∫_D ||r(u, v)|| dA
30. Tích phân mặt ∫∫_S F⋅dS tính đại lượng vật lý nào khi F là trường vận tốc của chất lưu?
A. Công của trường vectơ
B. Thông lượng chất lưu qua mặt S
C. Khối lượng chất lưu
D. Vận tốc trung bình của chất lưu
