Category:
Trắc nghiệm Kết nối Toán học 9 bài 29: Tứ giác nội tiếp
Tags:
Bộ đề 1
11. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ cát tuyến MCD đi qua tâm O. Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì điều gì xảy ra?
Nếu MCD đi qua tâm O, thì CD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ABCD. Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông. Do đó, $\angle CAD = 90^\circ$ và $\angle CBD = 90^\circ$. Vì ABCD là tứ giác nội tiếp, ta có $\angle A + \angle C = 180^\circ$ và $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Nếu CD là đường kính, thì tứ giác ABCD có hai góc vuông tại A và B (hoặc tại C và D nếu xét góc nội tiếp chắn đường kính). Tuy nhiên, câu hỏi nói ABCD nội tiếp. Nếu CD là đường kính, thì mọi tứ giác ABCD nội tiếp với CD là đường kính sẽ có $\angle CAD = 90^\circ$ và $\angle CBD = 90^\circ$. Điều này không nhất thiết dẫn đến AC = BD. Tuy nhiên, nếu ABCD là tứ giác nội tiếp và CD là đường kính, thì góc $\angle CAB$ và $\angle CDB$ cùng chắn cung CB, do đó $\angle CAB = \angle CDB$. Tương tự, $\angle DBA$ và $\angle DCA$ cùng chắn cung DA, do đó $\angle DBA = \angle DCA$. Nếu CD là đường kính, thì $\angle CAD = 90^\circ$ và $\angle CBD = 90^\circ$. Xét tam giác ACD và BCD. Trong tam giác ACD, có $\angle CAD = 90^\circ$. Trong tam giác BCD, có $\angle CBD = 90^\circ$. Nếu ABCD nội tiếp, thì $\angle ACB$ và $\angle ADB$ cùng chắn cung AB. $\angle ACD$ và $\angle ABD$ cùng chắn cung AD. $\angle BCD$ và $\angle BAD$ là góc đối. $\angle ADC$ và $\angle ABC$ là góc đối. Nếu CD là đường kính, thì $\angle CAD = 90^\circ$ và $\angle CBD = 90^\circ$. Xét hai tam giác vuông ACD và BCD. Nếu ta có thêm điều kiện AB song song CD, thì ABCD là hình thang cân, dẫn đến AD=BC và AC=BD. Nhưng đề bài chỉ cho MCD đi qua tâm O. Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp với CD là đường kính, thì điểm A và B nằm trên đường tròn. Điều này không tự động suy ra AC=BD. Tuy nhiên, nếu xét trường hợp đặc biệt, ví dụ ABCD là hình chữ nhật, thì CD là đường kính và AC=BD. Nếu ABCD là hình thang cân với CD là đáy lớn, thì CD là đường kính khi góc ở đáy bằng $90^\circ$, tức là hình vuông. Câu hỏi có thể hiểu sai. Quay lại tính chất chung: Nếu ABCD nội tiếp, AC và BD là đường chéo. Nếu CD là đường kính, thì tam giác ACD và BCD là tam giác vuông. Nếu ABCD là hình chữ nhật nội tiếp, thì CD là đường kính và AC=BD. Nếu ABCD là hình thang cân nội tiếp với CD là đáy lớn, thì AD=BC. Nếu CD là đường kính, thì hai góc A, B kề CD phải là $90^\circ$. Vậy ABCD là hình chữ nhật. Kết luận AC = BD.
