1. Diện tích mặt tham số S được cho bởi r(u, v), được tính bằng công thức nào?
A. ∬[D] ||rᵤ × rᵥ|| dA
B. ∬[D] (rᵤ · rᵥ) dA
C. ∬[D] ||rᵤ + rᵥ|| dA
D. ∬[D] ||rᵤ - rᵥ|| dA
2. Hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy có điểm dừng tại:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
3. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox là:
A. π∕5
B. π∕3
C. π∕2
D. π
4. Giá trị của tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1∕x²) dx là:
A. 1
B. 0
C. ∞
D. Không xác định
5. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∫[C] (P dx + Q dy) = ∬[D] (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∫[C] F · dr = ∫∫[S] (∇ × F) · n dS
C. ∫∫[S] F · n dS = ∭[V] ∇ · F dV
D. ∫[a, b] f′(x) dx = f(b) - f(a)
6. Điều kiện để chuỗi số dương ∑ aₙ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn là gì?
A. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = c > 0 và ∑ bₙ hội tụ
B. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = 0 và ∑ bₙ hội tụ
C. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = ∞ và ∑ bₙ hội tụ
D. lim[n→∞] (aₙ ∕ bₙ) = c > 0 và ∑ bₙ phân kỳ
7. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. y = x² + C
B. y = 2x² + C
C. y = e²ˣ + C
D. y = ln|2x| + C
8. Tích phân đường loại 2 ∫[C] P dx + Q dy phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Đường cong C và hàm số P, Q
B. Điểm đầu và điểm cuối của C
C. Diện tích miền giới hạn bởi C
D. Chỉ hàm số P, Q
9. Trong tọa độ cực, tích phân bội hai ∫∫[D] f(x, y) dA chuyển thành:
A. ∫∫[R] f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
B. ∫∫[R] f(r cosθ, r sinθ) dr dθ
C. ∫∫[R] f(r, θ) r dr dθ
D. ∫∫[R] f(r, θ) dr dθ
10. Giá trị của tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx bằng bao nhiêu?
A. 1∕4
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 1
11. Để tính diện tích miền D giới hạn bởi y = x² và y = x, ta dùng tích phân nào?
A. ∫[0, 1] (x - x²) dx
B. ∫[0, 1] (x² - x) dx
C. ∫[0, 1] (x + x²) dx
D. ∫[0, 1] √(x - x²) dx
12. Phương trình vi phân y′' + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)
B. y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
C. y = C₁cos(4x) + C₂sin(4x)
D. y = C₁e⁴ˣ + C₂e⁻⁴ˣ
13. Hàm số f(x, y) = x² - y² có điểm yên ngựa tại:
A. (0, 0)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. Không có điểm yên ngựa
14. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′' - y = eˣ có dạng:
A. yₚ = Axeˣ
B. yₚ = Aeˣ
C. yₚ = Ax²eˣ
D. yₚ = A
15. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (x∕2)ⁿ là:
A. (-2, 2)
B. [-2, 2]
C. (-∞, ∞)
D. {0}
16. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x² + C
B. x² + x + C
C. 2x² + x + C
D. 2 + C
17. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ⁺¹ ∕ n là chuỗi gì?
A. Chuỗi điều hòa
B. Chuỗi điều hòa đan dấu
C. Chuỗi hình học
D. Chuỗi p
18. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1∕n²) hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
19. Hàm số f(x, y) = eˣ² ⁺ ʸ² có cực trị tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (-1, -1)
D. Không có cực trị
20. Chuỗi Taylor của hàm số sin(x) tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!
B. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × x²ⁿ ∕ (2n)!
C. ∑[n=0, ∞] xⁿ ∕ n!
D. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!
21. Tích phân bội hai ∫∫[D] xy dA, với D là hình vuông [0, 1] × [0, 1], bằng:
22. Phương trình vi phân y′' + 3y′ + 2y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. y = C₁e⁻ˣ + C₂e⁻²ˣ
B. y = C₁eˣ + C₂e²ˣ
C. y = C₁cos(x) + C₂sin(2x)
D. y = C₁cos(2x) + C₂sin(x)
23. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y′' + y′² = x
B. y′ + xy = sin(x)
C. yy′ + x = 0
D. y′ = √(y+x)
24. Giá trị hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (xⁿ ∕ n!) là hàm số nào?
A. eˣ
B. sin(x)
C. cos(x)
D. ln(1 + x)
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. dy∕dx = xy
B. dy∕dx = x + y
C. dy∕dx = x² + y²
D. dy∕dx = sin(x + y)
26. Phương trình vi phân y′' + 2y′ + y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. y = (C₁ + C₂x)e⁻ˣ
B. y = C₁e⁻ˣ + C₂eˣ
C. y = C₁cos(x) + C₂sin(x)
D. y = C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻ˣ
27. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x²y + xy² theo biến x là:
A. 2xy + y²
B. x² + 2xy
C. 2x + 2y
D. 2xy
28. Tích phân mặt ∫∫[S] F · n dS tính đại lượng nào?
A. Thông lượng (flux) của trường vector F qua mặt S
B. Công của trường vector F dọc theo biên của S
C. Diện tích mặt S
D. Thể tích khối giới hạn bởi S
29. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (n ∕ (n² + 1)) so sánh với chuỗi nào để xét hội tụ?
A. ∑ (1∕n)
B. ∑ (1∕n²)
C. ∑ (1∕2ⁿ)
D. ∑ (1∕n³)
30. Tích phân đường loại 1 ∫[C] f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, được tính như thế nào?
A. Tham số hóa đường C, tính độ dài vi phân ds và thay vào tích phân.
B. Tính trực tiếp tích phân theo x hoặc y.
C. Sử dụng định lý Green.
D. Tính tích phân kép trên miền giới hạn bởi C.
