Đề 1 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 3

1. Divergence của trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) được định nghĩa là:

A. ∇ × F

B. ∇ · F

C. ||∇F||

D. ∫∫_S F · n dS

2. Tích phân ∫(0 đến ∞) e⁻ˣ dx bằng:

A. 0

B. 1

C. ∞

D. -1

3. Vector chỉ phương của giao tuyến hai mặt phẳng x + y + z = 1 và x - y + z = 0 là:

A. (1, 0, -1)

B. (1, 0, 1)

C. (0, 1, 0)

D. (1, 1, 0)

4. Đường cong mức của hàm f(x, y) = x² + y² là:

A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C. Parabol

D. Hyperbol

5. Trong hệ tọa độ cầu, biến ρ biểu diễn điều gì?

A. Góc giữa vector vị trí và trục z

B. Khoảng cách từ điểm đến trục z

C. Khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ

D. Góc trong mặt phẳng xy

6. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?

A. x² + y² + z² = 1

B. x + y + z = 5

C. x² + y = 2

D. xy + z = 3

7. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x∕2)ⁿ là:

A. (-2, 2)

B. [-2, 2]

C. (-∞, ∞)

D. {0}

8. Cho trường vector F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F) trong không gian 2D.

A. 0

B. 1

C. 2

D. -2

9. Gradient của hàm f(x, y, z) = x² + y² + z² tại điểm (1, 2, 3) là:

A. (2, 4, 6)

B. (1, 2, 3)

C. (2x, 2y, 2z)

D. (14)

10. Vector pháp tuyến của mặt z = f(x, y) là:

A. (∂f∕∂x, ∂f∕∂y, -1)

B. (-∂f∕∂x, -∂f∕∂y, 1)

C. (∂f∕∂x, -∂f∕∂y, 1)

D. (-∂f∕∂x, ∂f∕∂y, -1)

11. Công thức nào sau đây là công thức đổi biến sang tọa độ cực trong tích phân bội hai?

A. dA = dx dy

B. dA = r dr dθ

C. dA = ρ² sin(φ) dρ dφ dθ

D. dA = du dv

12. Tích phân ∫∫_R f(x, y) dA, với R là hình chữ nhật [a, b] × [c, d] có thể được viết dưới dạng tích phân lặp nào?

A. ∫(a đến b) ∫(c đến d) f(x, y) dy dx

B. ∫(c đến d) ∫(a đến b) f(x, y) dx dy

C. Cả hai đáp án 1 và 2 đều đúng

D. Cả hai đáp án 1 và 2 đều sai

13. Tính tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1.

A. 1∕24

B. 1∕12

C. 1∕6

D. 1∕3

14. Điều kiện để hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại (x0, y0) là:

A. fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và D = fxx fyy - (fxy)² > 0, fxx < 0

B. fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và D = fxx fyy - (fxy)² > 0, fxx > 0

C. fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và D = fxx fyy - (fxy)² < 0

D. fx(x0, y0) ≠ 0 hoặc fy(x0, y0) ≠ 0

15. Tính đạo hàm hàm hợp ∂z∕∂x, biết z = f(u, v), u = x² + y, v = xy.

A. ∂f∕∂u × 2x + ∂f∕∂v × y

B. ∂f∕∂u × y + ∂f∕∂v × 2x

C. ∂f∕∂u × x² + ∂f∕∂v × xy

D. ∂f∕∂u + ∂f∕∂v

16. Trong hệ tọa độ trụ, phần tử thể tích dV được biểu diễn là:

A. dx dy dz

B. r dr dθ dz

C. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ

D. dr dθ dz

17. Trong hệ tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (x, y, z) = (1, 1, 1) có tọa độ trụ là:

A. (√(2), π∕4, 1)

B. (2, π∕4, 1)

C. (√(2), π∕2, 1)

D. (2, π∕2, 1)

18. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV trong tọa độ cầu biểu diễn điều gì?

A. Diện tích của miền V

B. Thể tích của miền V

C. Độ dài đường cong

D. Diện tích bề mặt

19. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = xy dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

A. 1∕4

B. 1∕3

C. 1∕2

D. 1

20. Hàm số f(x, y) = ln(x² + y²) có miền xác định là:

A. R²

B. R² {(0, 0)}

C. {(x, y) | x > 0, y > 0}

D. {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0}

21. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu?

A. x + y + z = 1

B. x² + y² = 1

C. x² + y² + z² = 9

D. z = x² + y²

22. Hàm số nào sau đây KHÔNG liên tục tại (0, 0)?

A. f(x, y) = x² + y²

B. f(x, y) = sin(x + y)

C. f(x, y) = xy ∕ (x² + y²) nếu (x,y) ≠ (0,0), f(0,0) = 0

D. f(x, y) = x cos(y)

23. Đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = x³y + xy² theo biến x là:

A. 3x²y + y²

B. x³ + 2xy

C. 3x² + 2y

D. 3x²y + 2xy

24. Hàm số f(x, y) = eˣ^² ⁺ ʸ^² có đạo hàm riêng bậc hai hỗn hợp fxy và fyx như thế nào?

A. fxy > fyx

B. fxy < fyx

C. fxy = fyx

D. Không so sánh được

25. Giá trị của tích phân đường ∫_C (x² + y²) ds, với C là đường tròn đơn vị x² + y² = 1 là:

A. 0

B. 2π

C. π

D. 4π

26. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với:

A. Tích phân mặt trên mặt S giới hạn bởi C

B. Tích phân bội hai trên miền D giới hạn bởi C

C. Tích phân bội ba trên khối V giới hạn bởi C

D. Đạo hàm của hàm số

27. Giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1} là:

A. 1

B. √(2)

C. 2

D. 2√(2)

28. Hàm số f(x, y, z) = x² + y² + z² là:

A. Hàm tuyến tính

B. Hàm bậc hai

C. Hàm bậc ba

D. Hàm lượng giác

29. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C x dy, với C là đường cong tham số r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π∕2.

A. 1∕2

B. 1

C. -1∕2

D. -1

30. Công thức Stokes liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với:

A. Tích phân bội hai trên miền D giới hạn bởi C

B. Tích phân mặt trên mặt S giới hạn bởi C

C. Tích phân bội ba trên khối V giới hạn bởi C

D. Đạo hàm của hàm số