1. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, +∞) xⁿ∕n!
B. ∑[n=0, +∞) xⁿ
C. ∑[n=1, +∞) xⁿ∕n!
D. ∑[n=1, +∞) (-1)ⁿ xⁿ∕n!
2. Hàm số f(x, y) = x² + y² có cực trị tại điểm nào?
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
3. Tích phân xác định ∫[0, 1] 2x dx bằng:
4. Tích phân suy rộng loại 1 ∫[1, +∞) 1∕x² dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
D. Không xác định
5. Tính diện tích mặt cầu bán kính R.
A. πR²
B. 2πR²
C. 4πR²
D. 4∕3 πR³
6. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox là:
A. π∕5
B. π∕3
C. π∕2
D. π
7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất y′ + y = x.
A. y = x - 1 + Ce⁻ˣ
B. y = x + 1 + Ce⁻ˣ
C. y = x - 1 + C
D. y = Ce⁻ˣ
8. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, +∞) (x∕2)ⁿ là:
A. (-1, 1)
B. (-2, 2)
C. (-∞, +∞)
D. [ -2, 2]
9. Vectơ gradient của hàm số f(x, y) = x² + y² tại điểm (1, 1) là:
A. (1, 1)
B. (2, 2)
C. (2x, 2y)
D. (0, 0)
10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 là:
A. 8∕3
B. 16∕3
C. 32∕3
D. 4
11. Định lý Stokes liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân mặt
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân đường khác
12. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. 2 + C
B. x² + C
C. 2x² + C
D. x + C
13. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = xy dưới điều kiện x + y = 1.
A. Cực đại tại (1∕2, 1∕2)
B. Cực tiểu tại (1∕2, 1∕2)
C. Không có cực trị
D. Vừa cực đại vừa cực tiểu
14. Tính tích phân bội hai ∫∫[D] xy dA, với D là miền vuông [0, 1] × [0, 2].
15. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, +∞) xⁿ là:
16. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân nào?
A. Tích phân bội ba
B. Tích phân mặt khác
C. Tích phân đường
D. Tích phân bội hai
17. Nghiệm riêng của phương trình y′ = y, với điều kiện ban đầu y(0) = 1 là:
A. y = eˣ
B. y = x
C. y = 1
D. y = e⁻ˣ
18. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 2x là:
A. 3x² + 2 + C
B. x⁴∕4 + x² + C
C. x⁴∕4 + x²
D. x³∕3 + x² + C
19. Phương trình vi phân y′' + 2y′ + y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp mấy?
A. Cấp 1
B. Cấp 2
C. Cấp 3
D. Không phải tuyến tính
20. Công thức nào sau đây là công thức tính tích phân từng phần?
A. ∫u dv = uv - ∫v du
B. ∫u dv = uv + ∫v du
C. ∫u dv = u∫dv - v∫du
D. ∫u dv = ∫u dv ∫v du
21. Tích phân đường loại 1 ∫[C] f(x, y) ds, với C là đường cong tham số r(t) = (t, t²), 0 ≤ t ≤ 1 và f(x, y) = x. Biểu thức ds bằng:
A. dt
B. 2t dt
C. √(1 + 4t²) dt
D. √(1 + t²) dt
22. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân đường và tích phân bội hai
B. Tích phân đường và tích phân bội ba
C. Tích phân mặt và tích phân bội hai
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba
23. Tích phân mặt ∫∫[S] F · dS, với F là trường vectơ và S là mặt cong. dS là gì?
A. Vectơ pháp tuyến đơn vị nhân với diện tích vi phân
B. Diện tích vi phân
C. Vectơ tiếp tuyến đơn vị nhân với độ dài vi phân
D. Độ dài vi phân
24. Ma trận Jacobian được sử dụng trong phép đổi biến tích phân bội để làm gì?
A. Thay đổi giới hạn tích phân
B. Thay đổi hàm dưới dấu tích phân
C. Điều chỉnh yếu tố diện tích∕thể tích
D. Đơn giản hóa biểu thức
25. Tính hội tụ của chuỗi số ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ⁺¹ ∕ √n.
A. Hội tụ tuyệt đối
B. Hội tụ có điều kiện
C. Phân kỳ
D. Không xác định
26. Để tính tích phân ∫x*sin(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần, ta nên chọn u và dv như thế nào?
A. u = sin(x), dv = x dx
B. u = x, dv = sin(x) dx
C. u = x*sin(x), dv = dx
D. u = 1, dv = x*sin(x) dx
27. Hệ tọa độ nào sau đây thường được sử dụng để tính tích phân bội ba trong miền hình cầu?
A. Tọa độ Descartes
B. Tọa độ trụ
C. Tọa độ cầu
D. Tọa độ đường cong
28. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²f∕∂x∂y của hàm số f(x, y) = x²y³.
A. 6xy
B. 6x
C. 3x²y²
D. 2y³
29. Chuỗi số ∑[n=1, +∞) 1∕n² hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
D. Không xác định
30. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y′ + xy = x²
B. y′ = x + y
C. y′ = xy
D. y′' + y = 0
