1. Trong số học mô đun, phép nghịch đảo mô đun của a modulo m tồn tại khi nào?
A. Khi a và m có ước chung lớn nhất khác 1.
B. Khi a là số nguyên tố.
C. Khi m là số nguyên tố.
D. Khi a và m là nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(a, m) = 1).
2. Hàm số f: A → B được gọi là đơn ánh (injective) khi nào?
A. Với mọi y thuộc B, tồn tại duy nhất x thuộc A sao cho f(x) = y.
B. Với mọi x1, x2 thuộc A, nếu x1 ≠ x2 thì f(x1) ≠ f(x2).
C. Với mọi y thuộc B, tồn tại ít nhất một x thuộc A sao cho f(x) = y.
D. Tập hợp A và B có cùng số phần tử.
3. Quan hệ R trên tập hợp A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa mãn đồng thời các tính chất nào sau đây?
A. Phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
B. Phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
C. Đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu.
D. Phản xạ, đối xứng, không bắc cầu.
4. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Tập lũy thừa P(A) (power set of A) có bao nhiêu phần tử?
5. Một đồ thị được gọi là đồ thị phẳng nếu nó có thể được vẽ trên mặt phẳng sao cho ______.
A. tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau.
B. không có hai cạnh nào giao nhau (ngoại trừ tại các đỉnh).
C. tất cả các đỉnh đều có bậc bằng nhau.
D. có ít nhất một chu trình Hamilton.
6. Trong tổ hợp, 'tổ hợp chập k của n' (ký hiệu C(n, k) hoặc nCk) biểu thị điều gì?
A. Số cách sắp xếp k phần tử từ n phần tử có thứ tự.
B. Số cách chọn k phần tử từ n phần tử không phân biệt thứ tự.
C. Số cách chọn k phần tử từ n phần tử có phân biệt thứ tự và lặp lại.
D. Số cách chia n phần tử thành k nhóm.
7. Tính chất nào sau đây KHÔNG phải là tính chất của quan hệ thứ tự bộ phận?
A. Phản xạ.
B. Phản đối xứng.
C. Bắc cầu.
D. Đối xứng.
8. Cho hàm băm h(x) = x mod 10. Giá trị băm của x = 27 là bao nhiêu?
9. Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với V là tập đỉnh và E là tập cạnh. Bậc của một đỉnh v trong G được định nghĩa là gì?
A. Số đỉnh kề với v.
B. Số cạnh liên thuộc với v.
C. Tổng số đỉnh và cạnh trong đồ thị.
D. Số đường đi ngắn nhất từ v đến tất cả các đỉnh khác.
10. Trong logic vị từ, lượng từ '∀' (với mọi) được gọi là lượng từ ______.
A. tồn tại.
B. phổ quát.
C. đơn nhất.
D. logic.
11. Trong lý thuyết đồ thị, đường đi Hamilton là gì?
A. Đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh.
B. Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị đúng một lần.
C. Đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị đúng một lần.
D. Chu trình trong đồ thị.
12. Mệnh đề phủ định của mệnh đề 'Mọi số nguyên đều là số thực' là gì?
A. 'Mọi số nguyên đều không phải là số thực'.
B. 'Có ít nhất một số nguyên không phải là số thực'.
C. 'Không có số nguyên nào là số thực'.
D. 'Có ít nhất một số thực không phải là số nguyên'.
13. Một cây (tree) trong lý thuyết đồ thị là một đồ thị liên thông và ______.
A. có chu trình.
B. không có chu trình.
C. đầy đủ.
D. vô hướng.
14. Cho tập hợp A = {1, 2, 3}. Số quan hệ tương đương khác nhau trên tập A là bao nhiêu?
15. Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm 5 học sinh để tham gia đội văn nghệ là bao nhiêu?
16. Một dãy số được định nghĩa bởi công thức truy hồi aₙ = 2aₙ₁ + 1 với a₀ = 1. Số hạng a₃ là bao nhiêu?
17. Số lượng quan hệ hai ngôi khác nhau có thể xác định trên tập hợp A có n phần tử là bao nhiêu?
A. 2ⁿ
B. n²
C. 2^(n²)
D. n!
18. Trong biểu thức logic (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r), giá trị chân lý của biểu thức này phụ thuộc vào giá trị chân lý của bao nhiêu mệnh đề thành phần?
A. 2 (p và q)
B. 2 (p và r)
C. 3 (p, q và r)
D. 4 (p, q, r và ¬p)
19. Trong logic mệnh đề, phép toán 'kéo theo' (implication - →) giữa hai mệnh đề p và q (p → q) sai khi nào?
A. p đúng và q đúng.
B. p sai và q đúng.
C. p sai và q sai.
D. p đúng và q sai.
20. Trong tổ hợp, 'chỉnh hợp chập k của n' (ký hiệu P(n, k) hoặc nPk) được tính như thế nào?
A. n! / (k! * (n-k)!)
B. n! / (n-k)!
C. k! / (n-k)!
D. n! / k!
21. Trong lý thuyết đồ thị, một 'chu trình Euler' là gì?
A. Một đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị đúng một lần.
B. Một đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị đúng một lần và quay trở lại đỉnh xuất phát.
C. Một đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị.
D. Một chu trình đơn trong đồ thị.
22. Số hoán vị của n phần tử phân biệt là bao nhiêu?
23. Phát biểu nào sau đây về đồ thị Euler là đúng?
A. Một đồ thị có chu trình Euler khi và chỉ khi tất cả các đỉnh có bậc chẵn.
B. Một đồ thị có đường đi Euler khi và chỉ khi tất cả các đỉnh có bậc lẻ.
C. Một đồ thị có chu trình Euler khi và chỉ khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ.
D. Mọi đồ thị liên thông đều có chu trình Euler.
24. Trong logic mệnh đề, quy tắc suy luận Modus Tollens có dạng như thế nào?
A. [(p → q) ∧ p] → q
B. [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
C. [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q
D. [(p ∧ q) ∨ ¬p] → q
25. Trong đại số Boolean, luật De Morgan phát biểu rằng (A + B)' bằng gì?
A. A' + B'
B. A' * B'
C. A * B
D. A + B
26. Thuật toán Euclid được sử dụng để tìm gì?
A. Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên.
B. Ước chung lớn nhất của hai số nguyên.
C. Số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn một số cho trước.
D. Phân tích thừa số nguyên tố của một số nguyên.
27. Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị lưỡng phân (bipartite graph) là đồ thị như thế nào?
A. Đồ thị mà các đỉnh có thể chia thành hai tập hợp độc lập sao cho mọi cạnh chỉ nối giữa hai tập hợp này.
B. Đồ thị mà mọi đỉnh đều có bậc chẵn.
C. Đồ thị mà chứa chu trình Euler.
D. Đồ thị mà có thể tô màu bằng hai màu.
28. Ứng dụng chính của cây khung tối thiểu (Minimum Spanning Tree - MST) trong thực tế là gì?
A. Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai địa điểm.
B. Kết nối tất cả các điểm trong mạng với chi phí tối thiểu.
C. Tìm chu trình Hamilton trong đồ thị.
D. Phân loại dữ liệu.
29. Phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất về 'tập hợp' trong toán học rời rạc?
A. Một danh sách có thứ tự các phần tử.
B. Một bộ sưu tập vô thứ tự các đối tượng phân biệt.
C. Một dãy số tuân theo quy luật nhất định.
D. Một không gian chứa các điểm và đường thẳng.
30. Phương pháp chứng minh quy nạp thường được sử dụng để chứng minh điều gì?
A. Tính đúng đắn của một thuật toán cụ thể cho một trường hợp cụ thể.
B. Một mệnh đề đúng cho tất cả các số tự nhiên hoặc một tập con vô hạn của số tự nhiên.
C. Sự tồn tại của một nghiệm cho một phương trình.
D. Tính vô hạn của một tập hợp.
