1. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để tính tích phân của hàm phân thức hữu tỷ?
A. Tích phân từng phần
B. Đổi biến số
C. Phân tích thành phân thức đơn giản
D. Tích phân lượng giác
2. Cho chuỗi số ∑ aₙ. Nếu lim (n→∞) aₙ ≠ 0 thì chuỗi:
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
3. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] xⁿ∕n!
B. ∑[n=0, ∞] xⁿ
C. ∑[n=1, ∞] xⁿ∕n!
D. ∑[n=1, ∞] xⁿ∕n
4. Chuỗi hình học ∑[n=0, ∞] rⁿ hội tụ khi nào?
A. |r| < 1
B. |r| > 1
C. r < 1
D. r > 1
5. Tính tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx.
A. 1∕4
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 1
6. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến y′ = f(x)g(y) được tìm bằng cách nào?
A. Chia cả hai vế cho g(y) và tích phân
B. Nhân cả hai vế cho g(y) và tích phân
C. Đặt ẩn phụ u = g(y)
D. Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
7. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′ - y = eˣ có dạng:
A. Aeˣ
B. Axeˣ
C. Ax
D. A
8. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞] 1∕xᵖ dx hội tụ khi:
A. p > 1
B. p < 1
C. p = 1
D. Mọi giá trị p
9. Diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = x² và y = x được tính bằng tích phân nào?
A. ∫[0, 1] (x - x²) dx
B. ∫[0, 1] (x² - x) dx
C. ∫[-1, 1] (x - x²) dx
D. ∫[-1, 1] (x² - x) dx
10. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. 2
B. x² + C
C. 2x + C
D. e²ˣ + C
11. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y′' + y = 0
B. y′ + xy = x²
C. (y′)² + y = x
D. yy′ + x = 0
12. Phương trình vi phân y′ + P(x)y = Q(x) được gọi là phương trình vi phân gì?
A. Tuyến tính cấp hai
B. Tuyến tính cấp một
C. Tách biến
D. Đẳng cấp
13. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x² + C
B. x² + x + C
C. 2x² + x + C
D. 2x² + C
14. Để tính tích phân ∫√(a² - x²) dx, phép đổi biến lượng giác nào phù hợp?
A. x = a tan(θ)
B. x = a sec(θ)
C. x = a sin(θ)
D. x = a cos(θ)
15. Tính tích phân ∫ sin²(x) dx.
A. cos(x)sin(x) + C
B. x∕2 - sin(2x)∕4 + C
C. x∕2 + sin(2x)∕4 + C
D. -cos(x)sin(x) + C
16. Tiêu chuẩn nào sau đây có thể dùng để xác định sự hội tụ của chuỗi số dương?
A. Tiêu chuẩn Leibniz
B. Tiêu chuẩn D′Alembert
C. Tiêu chuẩn dấu đan dấu
D. Tiêu chuẩn Cauchy cho dãy
17. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π∫[a, b] (f(x))² dx
B. ∫[a, b] (f(x))² dx
C. π∫[a, b] f(x) dx
D. ∫[a, b] f(x) dx
18. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân nào?
A. Tuyến tính thuần nhất
B. Tuyến tính không thuần nhất
C. Tách biến
D. Đẳng cấp
19. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ (theo tiêu chuẩn Cauchy)?
A. lim (n→∞) aₙ = 0
B. Dãy tổng riêng bị chặn
C. ∀ε>0, ∃N sao cho ∀n, m > N, |Sₙ - Sₘ| < ε
D. aₙ ≥ 0 và giảm
20. Cho phương trình vi phân y′' + 2y′ + y = 0. Phương trình đặc trưng của phương trình này là:
A. r² + 2r + 1 = 0
B. r² + 2r = 0
C. r² + r = 0
D. r + 2 = 0
21. Khẳng định nào sau đây về tích phân suy rộng loại 2 là đúng?
A. Luôn hội tụ
B. Luôn phân kỳ
C. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ tùy thuộc vào hàm số
D. Chỉ hội tụ khi hàm số dương
22. Ứng dụng của tích phân xác định là gì?
A. Tìm đạo hàm
B. Tìm giới hạn
C. Tính diện tích và thể tích
D. Giải phương trình đại số
23. Tiêu chuẩn Leibniz được sử dụng để xét sự hội tụ của chuỗi nào?
A. Chuỗi dương
B. Chuỗi hình học
C. Chuỗi lũy thừa
D. Chuỗi đan dấu
24. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] cₙ(x - a)ⁿ được xác định bởi công thức nào?
A. R = 1 ∕ lim sup |cₙ|^(1∕n)
B. R = lim sup |cₙ|^(1∕n)
C. R = lim sup |cₙ|
D. R = 1 ∕ lim sup |cₙ|
25. Công thức nào sau đây biểu diễn độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b?
A. ∫[a, b] √(1 + (f′(x))²) dx
B. ∫[a, b] (f′(x))² dx
C. ∫[a, b] √(1 + f(x)) dx
D. ∫[a, b] |f′(x)| dx
26. Chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] cₙ(x - a)ⁿ luôn hội tụ tại điểm nào?
A. x = 0
B. x = a
C. x = 1
D. Mọi giá trị x
27. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục Oy, y = c, y = d quanh trục Oy được tính bằng công thức nào?
A. π∫[c, d] (g(y))² dy
B. ∫[c, d] (g(y))² dy
C. π∫[c, d] g(y) dy
D. ∫[c, d] g(y) dy
28. Tích phân từng phần được dựa trên quy tắc đạo hàm nào?
A. Quy tắc đạo hàm tổng
B. Quy tắc đạo hàm tích
C. Quy tắc đạo hàm thương
D. Quy tắc đạo hàm hàm hợp
29. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] 1∕n² hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
30. Giá trị của tích phân ∫[-a, a] f(x) dx bằng 0 nếu f(x) là hàm số:
A. Hàm số chẵn
B. Hàm số lẻ
C. Hàm số dương
D. Hàm số âm
