1. Hàm số f(x, y) = x² + y² có đạo hàm riêng tại (0, 0) là:
A. ∂f∕∂x(0, 0) = 0, ∂f∕∂y(0, 0) = 0
B. ∂f∕∂x(0, 0) = 1, ∂f∕∂y(0, 0) = 1
C. ∂f∕∂x(0, 0) = 0, ∂f∕∂y(0, 0) = 1
D. ∂f∕∂x(0, 0) = 1, ∂f∕∂y(0, 0) = 0
2. Trong tọa độ trụ, điểm (x, y, z) được biểu diễn qua (r, θ, z) như thế nào?
A. x = rcosθ, y = rsinθ, z = z
B. x = rsinθ, y = rcosθ, z = z
C. x = rcosθ, y = rsinθ, z = r
D. x = r, y = θ, z = z
3. Cho đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Độ dài cung của C được tính bởi:
A. ∫_aᵇ √( (x′(t))² + (y′(t))² ) dt
B. ∫_aᵇ (x′(t) + y′(t)) dt
C. ∫_aᵇ √((x(t))² + (y(t))²) dt
D. ∫_aᵇ |x′(t) + y′(t)| dt
4. Tính chất nào sau đây không đúng với tích phân kép?
A. Tính tuyến tính: ∫∫_D (af + bg)dA = a∫∫_D fdA + b∫∫_D gdA
B. Tính cộng tính trên miền: ∫∫_{D1∪D2} fdA = ∫∫_{D1} fdA + ∫∫_{D2} fdA nếu D1 ∩ D2 = ∅
C. Tính đơn điệu: Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) trên D thì ∫∫_D f(x, y)dA ≥ ∫∫_D g(x, y)dA
D. Tính chất giá trị trung bình: ∫∫_D f(x, y)dA = f(x₀, y₀) × Diện tích(D) với (x₀, y₀) ∈ D
5. Trong tọa độ cực, phần tử diện tích dA được biểu diễn là:
A. r dr dθ
B. dx dy
C. dr dθ
D. r² dr dθ
6. Cho trường vector F(x, y, z) = (P, Q, R). Divergence của F, ký hiệu div F hoặc ∇⋅F, được tính bằng:
A. ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z
B. (∂R∕∂y - ∂Q∕∂z, ∂P∕∂z - ∂R∕∂x, ∂Q∕∂x - ∂P∕∂y)
C. ∂P∕∂y + ∂Q∕∂z + ∂R∕∂x
D. (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z)k
7. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân mặt trên mặt giới hạn bởi đường cong đó
B. Tích phân kép trên miền phẳng và tích phân đường trên biên của miền đó
C. Tích phân mặt kín và tích phân khối bên trong mặt kín đó
D. Tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai
8. Cho hàm số f(x, y) = xy. Gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. ∇f(1, 2) = (2, 1)
B. ∇f(1, 2) = (1, 2)
C. ∇f(1, 2) = (2, 2)
D. ∇f(1, 2) = (1, 1)
9. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1} đạt được tại:
A. (1∕√2, 1∕√2)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (-1, -1)
10. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x₀, y₀) là:
A. ∇f(x₀, y₀) = 0
B. f′'_{xx}(x₀, y₀) > 0 và f′'_{yy}(x₀, y₀) > 0
C. f′'_{xx}(x₀, y₀) < 0 và f′'_{yy}(x₀, y₀) < 0
D. f′'_{xy}(x₀, y₀) = 0
11. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt S tham số hóa bởi r(u, v)?
A. ∬_D ||rᵤ × rᵥ|| dA
B. ∬_D |rᵤ ⋅ rᵥ| dA
C. ∬_D ||rᵤ + rᵥ|| dA
D. ∬_D ||rᵤ - rᵥ|| dA
12. Thông lượng của trường vector F qua mặt S được tính bằng tích phân mặt loại nào?
A. Tích phân mặt loại hai ∫∫_S F⋅n dS
B. Tích phân mặt loại một ∫∫_S f(x, y, z)dS
C. Tích phân đường loại hai ∫_C F⋅dr
D. Tích phân đường loại một ∫_C f(x, y)ds
13. Tích phân đường loại hai ∫_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy phụ thuộc vào:
A. Hướng của đường cong C và hàm số P, Q
B. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
C. Độ dài của đường cong C
D. Diện tích vùng giới hạn bởi đường cong C
14. Trong tọa độ cầu, điểm (x, y, z) được biểu diễn qua (ρ, φ, θ) như thế nào?
A. x = ρsinφcosθ, y = ρsinφsinθ, z = ρcosφ
B. x = ρcosφcosθ, y = ρsinφsinθ, z = ρsinφ
C. x = ρsinθcosφ, y = ρsinθsinφ, z = ρcosθ
D. x = ρcosθ, y = ρsinθ, z = ρsinφcosφ
15. Điều kiện đủ để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm dừng (x₀, y₀) là:
A. D(x₀, y₀) > 0 và f′'_{xx}(x₀, y₀) < 0
B. D(x₀, y₀) > 0 và f′'_{xx}(x₀, y₀) > 0
C. D(x₀, y₀) < 0
D. D(x₀, y₀) = 0
16. Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Đạo hàm theo hướng của vector v = (1, 1, 1) tại điểm (1, 1, 1) là:
A. √3
B. 3
C. 1∕√3
D. 1∕3
17. Curl của trường vector F(x, y, z) = (P, Q, R), ký hiệu curl F hoặc ∇×F, là một:
A. Trường vector
B. Hàm vô hướng
C. Số thực
D. Điểm trong không gian
18. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∮_C Pdx + Qdy = ∬_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y)dA
B. ∮_C Pdx + Qdy = ∬_D (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y)dA
C. ∮_C Pdx + Qdy = ∬_D (∂Q∕∂y - ∂P∕∂x)dA
D. ∮_C Pdx + Qdy = ∬_D (∂P∕∂y - ∂Q∕∂x)dA
19. Cho trường vector F(x, y) = (-y, x). Tính tích phân đường ∫_C F⋅dr dọc theo đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
20. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ:
A. Tích phân mặt kín của trường vector và tích phân bội ba của divergence của trường trong miền giới hạn
B. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân kép của curl của trường trên miền giới hạn
C. Tích phân mặt của curl của trường và tích phân đường trên biên của mặt
D. Tích phân đường loại một và tích phân mặt loại một
21. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là nghiệm của hệ phương trình nào?
A. ∂f∕∂x = 3x² - 3y = 0 và ∂f∕∂y = 3y² - 3x = 0
B. ∂f∕∂x = 3x² + 3y = 0 và ∂f∕∂y = 3y² + 3x = 0
C. ∂f∕∂x = 3x² - 3xy = 0 và ∂f∕∂y = 3y² - 3xy = 0
D. ∂f∕∂x = 3x² - 3y = 0 và ∂f∕∂y = 3y² + 3x = 0
22. Tích phân mặt loại một ∫∫_S f(x, y, z)dS dùng để tính:
A. Khối lượng của mặt S với mật độ khối lượng f(x, y, z)
B. Thông lượng của trường vector qua mặt S
C. Công của trường lực dọc theo mặt S
D. Thể tích giới hạn bởi mặt S
23. Trong tọa độ trụ, phần tử thể tích dV được biểu diễn là:
A. r dr dθ dz
B. dx dy dz
C. r² sinφ dr dφ dθ
D. dr dθ dz
24. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số f(x, y) khả vi liên tục đến cấp hai được định nghĩa là:
A. f′'_{xy} = ∂∕∂y (∂f∕∂x) và f′'_{yx} = ∂∕∂x (∂f∕∂y)
B. f′'_{xy} = ∂∕∂x (∂f∕∂y) và f′'_{yx} = ∂∕∂y (∂f∕∂x)
C. f′'_{xy} = ∂∕∂x (∂f∕∂x) và f′'_{yx} = ∂∕∂y (∂f∕∂y)
D. f′'_{xy} = ∂∕∂y (∂f∕∂y) và f′'_{yx} = ∂∕∂x (∂f∕∂x)
25. Cho trường vector bảo toàn F. Tính chất nào sau đây là đúng?
A. Curl F = 0
B. Div F = 0
C. Tích phân đường của F phụ thuộc vào đường đi
D. F không có potential function
26. Hàm số f(x, y) = x² - y² có điểm dừng tại (0, 0). Điểm này là:
A. Điểm yên ngựa
B. Cực đại địa phương
C. Cực tiểu địa phương
D. Không xác định
27. Cho hàm số f(x, y) = eˣ^² ⁺ ʸ^². Đạo hàm riêng ∂f∕∂x là:
A. 2xeˣ^² ⁺ ʸ^²
B. 2yeˣ^² ⁺ ʸ^²
C. eˣ^² ⁺ ʸ^²
D. 2xyeˣ^² ⁺ ʸ^²
28. Để chuyển tích phân kép từ tọa độ Cartesian sang tọa độ cực, ta cần thay thế dxdy bằng:
A. r dr dθ
B. dr dθ
C. r² dr dθ
D. dρ dφ
29. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu ∫∫∫_V f(ρ, φ, θ)dV có phần tử thể tích dV là:
A. ρ² sinφ dρ dφ dθ
B. ρ² dρ dφ dθ
C. ρ sinφ dρ dφ dθ
D. dρ dφ dθ
30. Để tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt z = f(x, y) ≥ 0 và miền D trên mặt phẳng xy, ta sử dụng:
A. Tích phân kép ∫∫_D f(x, y)dA
B. Tích phân đường ∫_∂D f(x, y)ds
C. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV
D. Tích phân mặt ∫∫_S f(x, y, z)dS
