1. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' = 2x là:
A. y = 2x + C
B. y = x^2 + C
C. y = e^(2x) + C
D. y = ln|2x| + C
2. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. b = 0
D. A là ma trận vuông
3. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) có chu kỳ 2π bao gồm các hàm số:
A. e^(inx)
B. sin(nx) và cos(nx)
C. x^n
D. ln(x)
4. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y' + y = x
B. y' = xy
C. y' + xy = y^2
D. y'' + y = 0
5. Điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ là:
A. lim (a_n) = 0 khi n → ∞
B. lim (a_n) ≠ 0 khi n → ∞
C. a_n > 0 với mọi n
D. a_n < 0 với mọi n
6. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y'' + 2y' + y = 0
B. y' + xy = x^2
C. (y')^2 + y = x
D. y'y = x
7. Trong không gian vectơ R^3, tích vô hướng của hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (2, -3, 4) là:
8. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x^n / n!) là:
9. Laplace transform của hàm f(t) = 1 là:
A. 1/s
B. s
C. 1/s^2
D. s^2
10. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. ∑ (1/n)
B. ∑ (1/n^2)
C. ∑ (n)
D. ∑ (2^n)
11. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?
A. [[1, 2], [0, 3]]
B. [[1, 0], [0, 3]]
C. [[1, 1], [1, 3]]
D. [[1, 0], [2, 3]]
12. Ma trận nghịch đảo của ma trận A tồn tại khi và chỉ khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận vuông
D. A là ma trận đường chéo
13. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) trên đường cong C được ký hiệu là:
A. ∫_C f(x, y) ds
B. ∫_C f(x, y) dx
C. ∫_C f(x, y) dy
D. ∫∫_C f(x, y) dA
14. Tích phân kép ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn:
A. Diện tích miền D
B. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) trên miền D
C. Độ dài đường cong trên miền D
D. Gia tốc của chất điểm di chuyển trên miền D
15. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba
C. Tích phân đường và đạo hàm riêng
D. Tích phân bội ba và đạo hàm riêng
16. Đạo hàm riêng của f(x, y) = xy^2 theo x là:
A. y^2
B. 2xy
C. x^2y
D. x + 2y
17. Gradient của hàm số f(x, y, z) tại một điểm là một:
A. Số vô hướng
B. Vectơ
C. Ma trận
D. Tập hợp
18. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV biểu diễn:
A. Diện tích miền V
B. Thể tích miền V
C. Độ dài đường cong trong V
D. Mặt diện tích bao quanh V
19. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân kép
B. Tích phân kép và tích phân bội ba
C. Tích phân đường và đạo hàm riêng
D. Tích phân bội ba và đạo hàm riêng
20. Định thức của ma trận A = [[2, 1], [4, 3]] là:
21. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:
A. 2 và 3
B. 0 và 2
C. 0 và 3
D. 1 và 2
22. Tích phân đường loại 2 của trường vectơ F dọc theo đường cong C được ký hiệu là:
A. ∫_C F · dr
B. ∫_C ||F|| ds
C. ∫∫_S F · n dS
D. ∫∫∫_V ∇ · F dV
23. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
24. Chuỗi Taylor của hàm e^x tại x = 0 là:
A. ∑ (x^n)
B. ∑ (x^n / n!)
C. ∑ ((-1)^n x^n / n!)
D. ∑ ((x-1)^n / n!)
25. Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân y'' - 3y' + 2y = 0 là:
A. r - 3r + 2 = 0
B. r^2 - 3r + 2 = 0
C. r^2 + 3r + 2 = 0
D. r - 3r + 2y = 0
26. Vector pháp tuyến của mặt phẳng x + 2y - z = 5 là:
A. (1, 2, -1)
B. (1, 2, 1)
C. (1, -2, -1)
D. (-1, -2, 1)
27. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6]] là:
28. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân mặt và tích phân bội ba
B. Tích phân đường và tích phân mặt
C. Tích phân đường và đạo hàm riêng
D. Tích phân bội ba và đạo hàm riêng
29. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' + y = 0 có dạng:
A. e^(rx)
B. sin(x) và cos(x)
C. x^n
D. ln(x)
30. Vectơ riêng của ma trận A là vectơ:
A. v sao cho Av = λv với mọi λ
B. v sao cho Av = λv với một số λ
C. v sao cho Av = 0
D. v sao cho Av = v
