1. Tích phân bội hai ∫∫ f(x, y) dA biểu diễn điều gì nếu f(x, y) = 1 và D là miền phẳng?
A. Thể tích khối trụ
B. Diện tích miền D
C. Độ dài đường biên của D
D. Giá trị trung bình của f(x, y) trên D
2. Tính chất tuyến tính của tích phân xác định phát biểu rằng điều gì?
A. ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx × ∫g(x) dx
B. ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
C. ∫c*f(x) dx = ∫f(cx) dx
D. ∫f(x)g(x) dx = ∫f(x) dx × ∫g(x) dx
3. Tìm vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y).
A. dz = ∂f∕∂x dx + ∂f∕∂y dy
B. dz = ∂f∕∂x dx - ∂f∕∂y dy
C. dz = ∂²f∕∂x² dx + ∂²f∕∂y² dy
D. dz = ∂f∕∂x dy + ∂f∕∂y dx
4. Chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor tại điểm nào?
A. x = 1
B. x = -1
C. x = 0
D. x = π
5. Phương trình vi phân y′' + ω²y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C₁eωˣ + C₂e⁻ωˣ
B. y = C₁cos(ωx) + C₂sin(ωx)
C. y = (C₁ + C₂x)eωˣ
D. y = (C₁ + C₂x)cos(ωx)
6. Tích phân suy rộng loại 1 có đặc điểm gì?
A. Cận tích phân hữu hạn, hàm số bị chặn
B. Cận tích phân vô hạn, hàm số bị chặn
C. Cận tích phân hữu hạn, hàm số không bị chặn
D. Cả cận tích phân và hàm số đều vô hạn
7. Tích phân đường loại 2 ∫ P dx + Q dy liên quan đến khái niệm nào trong vật lý?
A. Khối lượng
B. Công
C. Diện tích
D. Vận tốc
8. Trong phép đổi biến tích phân cho tích phân xác định, điều gì cần phải được thay đổi cùng với biến số?
A. Hàm số dưới dấu tích phân
B. Cận tích phân
C. Vi phân dx (hoặc dy)
D. Cả 1, 2 và 3
9. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên quy tắc đạo hàm nào?
A. Quy tắc đạo hàm của tổng
B. Quy tắc đạo hàm của tích
C. Quy tắc đạo hàm của thương
D. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp
10. Điều kiện cần để chuỗi số ∑^+∞ a hội tụ là gì?
A. lim a = C ≠ 0
B. lim a = 0
C. Chuỗi các giá trị tuyệt đối ∑|a| hội tụ
D. Chuỗi là chuỗi hình học với |q| < 1
11. Chuỗi Taylor của hàm số e tại x = 0 là chuỗi nào?
A. ∑^+∞ x∕n!
B. ∑^+∞ (-1)x∕n!
C. ∑^+∞ x<2n>∕(2n)!
D. ∑^+∞ (-1)x<2n>∕(2n)!
12. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân loại nào?
A. Phương trình tuyến tính thuần nhất
B. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
C. Phương trình tách biến
D. Phương trình Bernoulli
13. Cho hàm số f(x, y) = x² + y³. Điểm dừng của hàm số này là điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (2, 3)
D. Không có điểm dừng
14. Khẳng định nào sau đây là **đúng** về tích phân bất định?
A. Tích phân bất định của một hàm số là một số thực.
B. Tích phân bất định của một hàm số là một họ các hàm số.
C. Tích phân bất định chỉ tồn tại cho hàm số liên tục.
D. Tích phân bất định và tích phân xác định luôn có giá trị bằng nhau.
15. Tính chất đơn điệu của chuỗi số là gì?
A. Các số hạng của chuỗi tăng hoặc giảm dần
B. Tổng riêng của chuỗi tăng hoặc giảm dần
C. Chuỗi có dấu của các số hạng xen kẽ
D. Chuỗi có các số hạng dương
16. Điều kiện nào sau đây là **cần** để trường vectơ F = (P, Q) là trườngGradient (trường thế) trong miền D liên thông?
A. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. P dx + Q dy là vi phân toàn phần
D. Cả 1 và 3
17. Tích phân đường loại 1 ∫ f(x, y) ds dùng để tính đại lượng nào?
A. Diện tích bề mặt
B. Độ dài đường cong C
C. Thể tích vật thể
D. Công của trường lực
18. Chuỗi số ∑^+∞ 1∕n
hội tụ khi và chỉ khi nào?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p = 1
D. p > 1
19. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑^+∞ c(x-a) được xác định bởi công thức nào?
A. R = lim |c∕c|
B. R = lim |c∕c|
C. R = 1 ∕ lim |c∕c|
D. R = 1 ∕ lim |c∕c|
20. Để tìm cực trị tự do của hàm số z = f(x, y), bước đầu tiên cần làm là gì?
A. Tính đạo hàm riêng cấp hai
B. Giải hệ phương trình đạo hàm riêng cấp nhất bằng 0
C. Xác định miền xác định của hàm số
D. Kiểm tra điều kiện biên
21. Tích phân ∫ₐ<0>ᵇ<1> x² dx có giá trị là bao nhiêu?
A. 1∕3
B. 2∕3
C. 1
D. 4∕3
22. Điều kiện nào sau đây **không** phải là điều kiện để chuỗi số ∑^+∞ a hội tụ theo tiêu chuẩn D′Alembert (tỷ số)?
A. lim |a∕a| < 1
B. lim |a∕a| = 1
C. lim |a∕a| > 1
D. lim |a∕a| = L < 1
23. Công thức nào sau đây **không** phải là công thức tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số?
A. ∫ₐ<→ᵇ<→ |f(x) - g(x)| dx
B. ∫<α><→<β><→ 1∕2 × r²(θ) dθ (tọa độ cực)
C. ∫<→<→ |h(y) - k(y)| dy
D. ∫<ₐ><→<ᵇ><→ √[1 + (f′(x))²] dx
24. Tích phân suy rộng ∫<1>^+∞ 1∕x
dx hội tụ khi nào?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p = 1
D. p > 1
25. Trong tọa độ cực, yếu tố diện tích dA được biểu diễn như thế nào?
A. dx dy
B. r dr dθ
C. dr dθ
D. r² dr dθ
26. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor đến số hạng bậc nhất của hàm f(x) tại điểm x₀?
A. f(x) ≈ f(x₀) + f′(x₀)(x - x₀)
B. f(x) ≈ f(x₀) + f′'(x₀)(x - x₀)²∕2!
C. f(x) ≈ f(x₀) + f′(x₀)x
D. f(x) ≈ f′(x₀)(x - x₀)
27. Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân bội một
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân mặt
28. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f và f bằng nhau khi nào?
A. Luôn luôn bằng nhau
B. Khi f(x,y) là hàm đa thức
C. Khi các đạo hàm riêng liên tục
D. Khi f(x,y) khả vi
29. Để tính tích phân ∫sin(x)cos(x) dx, phương pháp đổi biến số nào sau đây là **phù hợp nhất**?
A. Đặt u = sin(x)
B. Đặt u = cos(x)
C. Đặt u = tan(x)
D. Đặt u = x²
30. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục Ox, với D giới hạn bởi y=f(x), trục Ox, x=a, x=b được tính bằng công thức nào?
A. ∫ₐ<→ᵇ<→ π[f(x)]² dx
B. ∫ₐ<→ᵇ<→ 2πx f(x) dx
C. ∫<→<→ π[g(y)]² dy
D. ∫ₐ<→ᵇ<→ πf(x) dx
