1. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
2. Đạo hàm riêng của f(x, y) = xeˣʸ theo y là:
A. eˣʸ + xyeˣʸ
B. x²eˣʸ
C. xeˣʸ + x²yeˣʸ
D. xyeˣʸ
3. Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ cầu (ρ, θ, φ) là:
A. ρ² sin φ
B. ρ sin φ
C. ρ² cos φ
D. ρ cos φ
4. Tọa độ trụ (r, θ, z) liên hệ với tọa độ Descartes (x, y, z) như thế nào?
A. x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
B. x = r sin θ, y = r cos θ, z = z
C. x = r cos θ, y = r sin θ, z = rz
D. x = r sin θ, y = r cos θ, z = rz
5. Cho trường vectơ F(x, y, z) = . Điều kiện để F là trường vectơ bảo toàn là:
A. ∇ × F = 0
B. ∇ · F = 0
C. ∇ f = F với một hàm vô hướng f
D. Cả 1 và 3
6. Công thức Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
7. Hàm số f(x, y) = x² - y² có điểm dừng tại (0, 0). Điểm dừng này là điểm:
A. Cực đại địa phương
B. Cực tiểu địa phương
C. Yên ngựa
D. Không xác định
8. Tính tích phân ∫∫∫B dV, với B là khối cầu x² + y² + z² ≤ 1.
A. 4π∕3
B. 4π
C. π∕3
D. 2π
9. Tính tích phân ∫∫∫E dV, với E là khối trụ x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
10. Hàm số nào sau đây không liên tục tại (0, 0)? f(x, y) =
A. (x² + y²) sin(1∕√(x² + y²)) nếu (x, y) ≠ (0, 0); 0 nếu (x, y) = (0, 0)
B. (x² - y²) ∕ (x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0); 0 nếu (x, y) = (0, 0)
C. (x² + y²) ∕ (x² + y² + 1)
D. xy ∕ √(x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0); 0 nếu (x, y) = (0, 0)
11. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị địa phương tại (x0, y0) là:
A. ∇f(x0, y0) = 0
B. Δf(x0, y0) > 0
C. Δf(x0, y0) < 0
D. ∇ × f(x0, y0) = 0
12. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
13. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
14. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
15. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x² + y² là:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
16. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(x-2)ⁿ ∕ n! là:
A. (-∞, ∞)
B. (-1, 1)
C. [−1, 1]
D. [0, 4]
17. Tính phân kỳ của trường vectơ F(x, y, z) = tại điểm (1, 1, 1).
18. Tính curl của trường vectơ F(x, y, z) = .
A. <0, 0, -2>
B. <0, 0, 2>
C. <1, 1, 0>
D. ←1, -1, 0>
19. Cho trường vectơ F(x, y) = . Công thức Green phát biểu ∫C P dx + Q dy = …
A. ∫∫D (∂P∕∂x - ∂Q∕∂y) dA
B. ∫∫D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
C. ∫∫D (∂P∕∂y - ∂Q∕∂x) dA
D. ∫∫D (∂Q∕∂y - ∂P∕∂x) dA
20. Cho mặt S là nửa mặt cầu trên x² + y² + z² = 1, z ≥ 0. Vectơ pháp tuyến đơn vị hướng lên trên của S là:
A.
B.
C. ∕ √(x² + y² + z²)
D. ←x, -y, -z>
21. Trong không gian R³, mặt nào sau đây là mặt trụ?
A. x² + y² = 1
B. x² + y² + z² = 1
C. x² + y² - z² = 1
D. x + y + z = 1
22. Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ) là:
A. r
B. 1∕r
C. r²
D. 1∕r²
23. Tích phân ∫∫R xy dA, với R là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1, có giá trị là:
A. 1∕24
B. 1∕12
C. 1∕6
D. 1∕3
24. Tọa độ cầu (ρ, θ, φ) liên hệ với tọa độ Descartes (x, y, z) như thế nào?
A. x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ
B. x = ρ cos φ cos θ, y = ρ cos φ sin θ, z = ρ sin φ
C. x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ
D. x = ρ cos θ cos φ, y = ρ cos θ sin φ, z = ρ sin θ
25. Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn f(x) có chu kỳ 2π có dạng:
A. a0∕2 + ∑(an cos(nx) + bn sin(nx))
B. ∑(an cos(nx) + bn sin(nx))
C. a0 + ∑(an cos(nx) + bn sin(nx))
D. a0∕2 + ∑ an cos(nx)
26. Giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1} là:
27. Vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z = 1 và x - y + z = 2 là:
A. <1, 0, -1>
B. <1, 0, 0>
C. <0, 1, 0>
D. <1, 1, 1>
28. Cho hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Biểu thức Δf = ∂^2f∕∂x² + ∂^2f∕∂y² được gọi là:
A. Gradient của f
B. Divergence của f
C. Laplacian của f
D. Curl của f
29. Cho mặt S là mặt cầu x² + y² + z² = 4. Tính diện tích mặt S.
A. 4π
B. 8π
C. 16π
D. 32π
30. Đổi thứ tự tích phân trong tích phân lặp ∫0¹ ∫x²^√x f(x, y) dy dx.
A. ∫0¹ ∫y²^√y f(x, y) dx dy
B. ∫0¹ ∫y^√y f(x, y) dx dy
C. ∫0¹ ∫y²^y f(x, y) dx dy
D. ∫0¹ ∫√yʸ^2 f(x, y) dx dy
