Đề 14 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y′` - 3y′ + 2y = 0 là:

A. r² - 3r + 2 = 0

B. r² + 3r + 2 = 0

C. r - 3 + 2 = 0

D. 2r² - 3r + 1 = 0

2. Định thức của ma trận đơn vị cấp n bằng bao nhiêu?

A. 0

B. n

C. 1

D. -1

3. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. f(x) = x³

B. f(x) = sin(x)

C. f(x) = cos(x)

D. f(x) = eˣ

4. Tính tích phân ∫[0, π∕2] sin²(x) dx.

A. π∕4

B. π∕2

C. π

D. 2π

5. Phương pháp lặp Newton-Raphson được sử dụng để:

A. Tính đạo hàm của hàm số

B. Tính tích phân của hàm số

C. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

D. Tìm cực trị của hàm số

6. Trong không gian vector R², cơ sở chính tắc là:

A. {(1, 1), (0, 1)}

B. {(1, 0), (1, 1)}

C. {(1, 0), (0, 1)}

D. {(0, 0), (1, 0)}

7. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x³ × y² theo biến x hai lần là:

A. 6xy²

B. 6x²y

C. 2y²

D. 3x²y²

8. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:

A. Khả vi tại x = 0

B. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 0

C. Không liên tục tại x = 0

D. Không xác định tại x = 0

9. Tính phân kỳ (divergence) của trường vector F(x, y, z) = (x², xy, xz) tại điểm (1, 1, 1).

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

10. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6]] là:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

11. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x.

A. Hàm số có cực đại tại (0, 0)

B. Hàm số có cực tiểu tại (1, 0)

C. Hàm số có điểm yên ngựa tại (1, 0)

D. Hàm số không có cực trị

12. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?

A. y′` + y′ + y² = x

B. y′ + sin(y) = x

C. y′ + xy = x²

D. (y′)² + y = x

13. Chuỗi lũy thừa ∑ cₙ (x-a)ⁿ có bán kính hội tụ R. Miền hội tụ của chuỗi là:

A. (a-R, a+R)

B. [a-R, a+R]

C. (a-R, a+R] hoặc [a-R, a+R)

D. Tùy thuộc vào sự hội tụ tại x = a-R và x = a+R

14. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?

A. [[1, 2], [0, 3]]

B. [[1, 0], [0, 3]]

C. [[1, 0], [2, 3]]

D. [[1, 1], [1, 3]]

15. Trong không gian vector R³, tích vô hướng của hai vector u = (1, 2, -1) và v = (3, 0, 4) bằng bao nhiêu?

A. 1

B. 7

C. -1

D. 5

16. Tìm giới hạn của dãy số aₙ = (n² + 1) ∕ (2n² - 3n + 2) khi n → ∞.

A. 1

B. 1∕2

C. 0

D. ∞

17. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?

A. ∫[0, 1] πx⁴ dx

B. ∫[0, 1] πx² dx

C. ∫[0, 1] π√(x) dx

D. ∫[0, 1] 2πx³ dx

18. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [[2, 1], [1, 1]].

A. [[1, -1], [-1, 2]]

B. [[1, -1], [1, 2]]

C. [[1, 1], [-1, 2]]

D. [[-1, 1], [1, -2]]

19. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm a?

A. f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f′`(a)(x-a)² + …

B. f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + (f′`(a)∕2!)(x-a)² + …

C. f(x) = f(a) + f′(a)x + (f′`(a)∕2!)x² + …

D. f(x) = f(0) + f′(0)x + (f′`(0)∕2!)x² + …

20. Vector pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5 là:

A. (2, -1, 3)

B. (2, 1, 3)

C. (2, -1, -3)

D. (-2, 1, -3)

21. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x × eˣ^² là:

A. eˣ^² + C

B. x² × eˣ^² + C

C. 2eˣ^² + C

D. e²ˣ + C

22. Trong không gian R³, phương trình x² + y² + z² = 9 biểu diễn hình gì?

A. Mặt phẳng

B. Đường thẳng

C. Mặt cầu

D. Elipxoit

23. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. p > 0

B. p ≥ 1

C. p > 1

D. p < 1

24. Trong giải tích phức, điểm kỳ dị cô lập của hàm số f(z) là gì?

A. Điểm mà tại đó hàm số không liên tục

B. Điểm mà tại đó hàm số không khả vi

C. Điểm mà tại đó hàm số không xác định, nhưng tồn tại một lân cận không chứa điểm kỳ dị khác

D. Điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

25. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2y là:

A. y = Ce²ˣ

B. y = Ce⁻²ˣ

C. y = 2Ceˣ

D. y = C + 2x

26. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:

A. 2 và 2

B. 3 và 3

C. 2 và 3

D. 0 và 5

27. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) khả vi tại x0 là:

A. f(x) liên tục tại x0

B. Tồn tại giới hạn hữu hạn của (f(x) - f(x0))∕(x - x0) khi x → x0

C. f′(x0) = 0

D. f(x) có đạo hàm cấp hai tại x0

28. Điều kiện để tích phân suy rộng ∫[a, ∞) f(x) dx hội tụ là:

A. f(x) phải liên tục trên [a, ∞)

B. lim(x→∞) f(x) = 0

C. Tồn tại giới hạn hữu hạn của ∫[a, t] f(x) dx khi t → ∞

D. f(x) ≥ 0 trên [a, ∞)

29. Định lý Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân mặt

B. Tích phân đường và tích phân bội hai

C. Tích phân mặt và tích phân bội ba

D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba

30. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y trên đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π là:

A. 0

B. π

C. 2π

D. 4π