Category:
Toán rời rạc
Tags:
Bộ đề 14
25. Cho tập hợp A = {a, b, c, d} và quan hệ R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}. Quan hệ R này có phải là quan hệ tương đương không?
Quan hệ R phản xạ (có (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)) và đối xứng (có (a,b) và (b,a)). Tuy nhiên, nó không bắc cầu. Ví dụ, (a,b) ∈ R và (b,a) ∈ R, nhưng không có gì để suy ra (a,a) ∈ R (điều này đúng trong R, nhưng xét trường hợp khác nếu có thêm quan hệ khác mà tính bắc cầu bị vi phạm). Trong trường hợp này, nếu xét thêm (a,b) và (b,a) và (a,a) có mặt, thì có thể nhầm lẫn là bắc cầu. Để chắc chắn không là quan hệ tương đương, cần tìm ví dụ vi phạm tính bắc cầu. Ở đây, R thiếu tính bắc cầu vì không có các cặp cần thiết để thỏa mãn tính bắc cầu trên toàn bộ tập A (ví dụ, không có cặp nào dạng (x,y) và (y,z) mà cần (x,z) nhưng không có). Tuy nhiên, lý do chính xác hơn để nói nó không phải quan hệ tương đương là vì nó không phân hoạch tập A thành các lớp tương đương rõ ràng. Quan hệ tương đương phải phân hoạch tập thành các lớp tương đương rời nhau. Ở đây, nếu xem xét các lớp, ta có {a, b}, {c}, {d}. Điều này không phải là một phân hoạch hoàn chỉnh theo nghĩa mọi phần tử phải thuộc đúng một lớp. Thực tế, R là quan hệ tương đương trên tập {a,b,c,d} vì nó phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Phân tích lại: R phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Vậy nó là quan hệ tương đương. ĐÁP ÁN CẦN ĐƯỢC SỬA LẠI thành `Đúng`. Sau khi xem xét kỹ, R đúng là quan hệ tương đương. Sai sót ban đầu trong nhận định về tính bắc cầu. Quan hệ R là quan hệ tương đương. Vậy đáp án là `Đúng`.
