1. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên quy tắc đạo hàm nào?
A. Quy tắc đạo hàm của tổng
B. Quy tắc đạo hàm của tích
C. Quy tắc đạo hàm của thương
D. Quy tắc đạo hàm hàm hợp
2. Để tính tích phân ∫sin²(x)cos(x) dx, phương pháp đổi biến nào là phù hợp nhất?
A. u = sin(x)
B. u = cos(x)
C. u = tan(x)
D. u = x²
3. Tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx bằng:
A. 1∕4
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 1
4. Độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] √(1 + [f′(x)]²) dx
B. ∫[a, b] √([f′(x)]²) dx
C. ∫[a, b] (1 + [f′(x)]²) dx
D. ∫[a, b] f′(x) dx
5. Trong tích phân đường loại 1, ta tích phân theo yếu tố nào?
A. dx
B. dy
C. ds (độ dài cung)
D. dA (diện tích)
6. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm f(x, y) = x²y + y³ theo x hai lần là:
7. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (xⁿ ∕ n!) là:
8. Chuỗi hình học ∑[n=0, ∞] rⁿ hội tụ khi nào?
A. |r| > 1
B. |r| ≥ 1
C. |r| < 1
D. r < 1
9. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ?
A. lim (n→∞) aₙ = 0
B. Chuỗi ∑ |aₙ| hội tụ
C. Tiêu chuẩn tỷ số D′Alembert cho kết quả < 1
D. aₙ là dãy giảm
10. Hàm số f(x, y) = x² + y² có điểm dừng tại điểm nào?
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (0, 0)
11. Tính phân kỳ của trường vectơ F = (P, Q, R) được định nghĩa là:
A. ∇ × F
B. ∇ · F
C. ∫∫ F · dS
D. ∫∫∫ ∇ · F dV
12. Để tìm cực trị của hàm số hai biến với ràng buộc g(x, y) = c, ta sử dụng phương pháp nào?
A. Phương pháp đạo hàm riêng
B. Phương pháp nhân tử Lagrange
C. Phương pháp đổi biến
D. Phương pháp tích phân từng phần
13. Công thức nào sau đây KHÔNG phải là công thức cơ bản trong phép tính tích phân?
A. ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)∕(n+1) + C (n ≠ -1)
B. ∫eˣ dx = eˣ + C
C. ∫sin(x) dx = cos(x) + C
D. ∫cos(x) dx = sin(x) + C
14. Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân bội một
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân mặt
15. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=1, ∞] (xⁿ ∕ n) là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1)
C. (-1, 1]
D. [-1, 1]
16. Để chuyển tích phân bội hai từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực, ta thay dx dy bằng:
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r² dr dθ
D. θ dr dθ
17. Tích phân ∫(1∕x) dx bằng:
A. 1∕x² + C
B. ln|x| + C
C. -ln|x| + C
D. -1∕x² + C
18. Chuỗi nào sau đây là chuỗi điều hòa?
A. ∑[n=1, ∞] (1∕n²)
B. ∑[n=1, ∞] (1∕n)
C. ∑[n=1, ∞] (1∕2ⁿ)
D. ∑[n=1, ∞] (n∕2ⁿ)
19. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1∕n²) là chuỗi:
A. Phân kỳ
B. Hội tụ
C. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
D. Không xác định được
20. Giá trị của tích phân suy rộng ∫[0, ∞] e⁻ˣ dx là:
21. Tính chất tuyến tính của tích phân xác định phát biểu rằng:
A. ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx × ∫[a, b] g(x) dx
B. ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx
C. ∫[a, b] cf(x) dx = c + ∫[a, b] f(x) dx
D. ∫[a, b] cf(x) dx = f(c)∫[a, b] x dx
22. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ tuyệt đối là:
A. Chuỗi ∑ aₙ hội tụ
B. Chuỗi ∑ |aₙ| hội tụ
C. lim (n→∞) aₙ = 0
D. aₙ là dãy giảm và dương
23. Tiêu chuẩn nào sau đây KHÔNG dùng để xét sự hội tụ của chuỗi dương?
A. Tiêu chuẩn so sánh
B. Tiêu chuẩn tỷ số D′Alembert
C. Tiêu chuẩn Leibniz
D. Tiêu chuẩn căn Cauchy
24. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] (xⁿ ∕ n!)
B. ∑[n=0, ∞] ((-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!)
C. ∑[n=0, ∞] (x²ⁿ ∕ (2n)!)
D. ∑[n=0, ∞] (x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!)
25. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1∕xᵖ) dx hội tụ khi nào?
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
26. Gradient của hàm f(x, y) = x² + y² tại điểm (1, 2) là:
A. (2, 4)
B. (1, 2)
C. (4, 2)
D. (2, 1)
27. Tích phân bội hai ∫∫[D] f(x, y) dA biểu diễn điều gì về mặt hình học nếu f(x, y) ≥ 0?
A. Diện tích miền D
B. Thể tích khối trụ dưới mặt z = f(x, y) và trên miền D
C. Độ dài đường cong trên miền D
D. Chu vi miền D
28. Tích phân ∫sec²(x) dx bằng:
A. cot(x) + C
B. tan(x) + C
C. -cot(x) + C
D. -tan(x) + C
29. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi miền giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b khi quay quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] f(x) dx
B. π∫[a, b] f(x) dx
C. π∫[a, b] [f(x)]² dx
D. 2π∫[a, b] xf(x) dx
30. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x² + C
B. x² + x + C
C. 2x² + x + C
D. 2 + C
