1. Để tính lưu lượng (flux) của một trường vector F xuyên qua một mặt S, ta sử dụng loại tích phân nào?
A. Tích phân đường loại một
B. Tích phân đường loại hai
C. Tích phân mặt loại một
D. Tích phân mặt loại hai
2. Trong không gian hai chiều, tích phân đường loại hai ∫C Pdx + Qdy có thể được chuyển đổi thành tích phân kép trên miền D giới hạn bởi đường cong C kín theo chiều dương bằng định lý nào?
A. Định lý Stokes
B. Định lý Green
C. Định lý Divergence
D. Định lý cơ bản của giải tích
3. Trong định lý Green, đường cong C phải là đường cong nào để định lý áp dụng được?
A. Đường cong kín, đơn giản, trơn từng khúc và hướng dương
B. Đường cong bất kỳ
C. Đường cong hở
D. Đường cong không trơn
4. Tính chất tuyến tính nào sau đây KHÔNG đúng cho tích phân?
A. ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
B. ∫c*f(x) dx = c∫f(x) dx (với c là hằng số)
C. ∫f(x)*g(x) dx = ∫f(x) dx × ∫g(x) dx
D. ∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx
5. Công thức nào sau đây thể hiện định lý cơ bản của giải tích cho tích phân đường?
A. ∫C ∇f ⋅ dr = f(r(b)) - f(r(a))
B. ∫C F ⋅ dr = ∫∫D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
C. ∫∫S (∇×F) ⋅ dS = ∫∂S F ⋅ dr
D. ∫∫S F ⋅ dS = ∫∫∫V (∇⋅F) dV
6. Trong không gian ba chiều, phương trình ∇⋅(∇×F) = 0 luôn đúng với mọi trường vector F có đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Phát biểu này thể hiện tính chất gì của divergence và curl?
A. Divergence của một trường vector curl luôn bằng 0
B. Curl của một trường vector divergence luôn bằng 0
C. Divergence và curl là hai toán tử độc lập
D. Tổng của divergence và curl luôn bằng 0
7. Để tính tích phân kép ∫∫R f(x,y) dA trên một miền R không phải hình chữ nhật, bước quan trọng đầu tiên thường là gì?
A. Đổi biến tích phân sang tọa độ cực
B. Xác định giới hạn tích phân cho x và y dựa trên hình dạng miền R
C. Tính đạo hàm riêng của f(x,y)
D. Kiểm tra tính liên tục của f(x,y)
8. Nếu F = ∇f, với f là một hàm vô hướng, thì tích phân đường ∫C F⋅dr từ điểm A đến điểm B chỉ phụ thuộc vào điều gì?
A. Dạng đường cong C
B. Chiều dài đường cong C
C. Điểm đầu A và điểm cuối B
D. Độ cong của đường cong C
9. Ứng dụng nào sau đây KHÔNG phải là ứng dụng trực tiếp của tích phân bội ba?
A. Tính thể tích vật rắn
B. Tính khối lượng vật rắn với mật độ thay đổi
C. Tính mô men quán tính của vật rắn
D. Tính diện tích bề mặt của vật rắn
10. Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Tính gradient của f tại điểm (1, 2, 3).
A. <1, 2, 3>
B. <6, 3, 2>
C. <2, 3, 6>
D. <3, 2, 1>
11. Trong tích phân mặt loại hai ∫∫S F⋅dS, đại lượng dS đại diện cho yếu tố diện tích mặt có hướng. Hướng của dS được xác định như thế nào?
A. Luôn hướng ra ngoài mặt kín S
B. Luôn hướng vào trong mặt kín S
C. Hướng tiếp tuyến với mặt S
D. Hướng pháp tuyến đơn vị của mặt S, có thể chọn hướng ra ngoài hoặc vào trong tùy trường hợp.
12. Trong định lý Stokes, đường cong C là biên của mặt S. Mối quan hệ giữa hướng của C và hướng pháp tuyến của S phải tuân theo quy tắc nào để định lýStokes đúng?
A. Quy tắc bàn tay phải
B. Quy tắc bàn tay trái
C. Hướng của C và S độc lập
D. Hướng của C phải ngược với hướng của S
13. Hệ tọa độ trụ (cylindrical coordinates) sử dụng các biến số nào để biểu diễn một điểm trong không gian?
A. (x, y, z)
B. (r, θ, z)
C. (ρ, θ, φ)
D. (u, v, w)
14. Jacobian determinant xuất hiện trong công thức đổi biến của tích phân bội có vai trò gì?
A. Đảm bảo tính hội tụ của tích phân
B. Điều chỉnh độ lớn của yếu tố diện tích hoặc thể tích vi phân khi chuyển sang hệ tọa độ mới
C. Xác định hướng của pháp tuyến mặt
D. Tính độ cong của đường cong hoặc mặt
15. Trong hệ tọa độ trụ, phương trình x² + y² = 9 được biểu diễn đơn giản như thế nào?
A. r = 3
B. θ = π∕2
C. z = 3
D. r² = 9
16. Trong hệ tọa độ cầu (spherical coordinates), biến số ρ (rho) biểu diễn đại lượng hình học nào?
A. Khoảng cách từ điểm đến trục z
B. Góc giữa vector vị trí và trục z dương
C. Khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ
D. Góc trong mặt phẳng xy, tính từ trục x dương
17. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt của trường vector F qua một mặt kín S với tích phân bội ba của đại lượng nào bên trong thể tích V được bao bởi S?
A. curl F
B. grad F
C. div F
D. laplacian F
18. Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = , a ≤ t ≤ b. Công thức tính tích phân đường của trường vector F = dọc theo C là gì?
A. ∫aᵇ F(r(t)) dt
B. ∫aᵇ F(r(t)) ⋅ r′(t) dt
C. ∫aᵇ ||F(r(t))|| dt
D. ∫aᵇ ||r′(t)|| dt
19. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo sự tồn tại của tích phân kép ∫∫R f(x,y) dA?
A. f(x, y) liên tục trên R
B. R là miền bị chặn
C. f(x, y) bị chặn trên R
D. R là miền không bị chặn
20. Cho trường vector F = <−y, x, 0>. Tính curl F.
A. <0, 0, 0>
B. <0, 0, 2>
C. <2, 0, 0>
D. <0, 2, 0>
21. Tính tích phân kép ∫∫R (x + y) dA, với R là hình vuông có các đỉnh (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
22. Cho hàm số f(x, y). Gradient của f, ký hiệu ∇f, là một đại lượng gì?
A. Một số vô hướng
B. Một vector
C. Một ma trận
D. Một tập hợp
23. Nếu div F > 0 tại một điểm, điều này có ý nghĩa vật lý gì về trường vector F tại điểm đó?
A. Trường vector đang xoáy quanh điểm đó
B. Trường vector đang hội tụ về điểm đó
C. Trường vector đang phát ra (diverging) từ điểm đó
D. Trường vector không đổi tại điểm đó
24. Cho trường vector bảo toàn F. Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để F là trường vector bảo toàn trên miền liên thông D?
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. ∫C F⋅dr = 0 với mọi đường cong kín C trong D
D. Cả đáp án 1 và 3
25. Trong tích phân bội ba ∫∫∫E f(x, y, z) dV, dV đại diện cho yếu tố thể tích vi phân. Trong hệ tọa độ cầu, dV được biểu diễn như thế nào?
A. dx dy dz
B. r dr dθ dz
C. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
D. ρ dρ dφ dθ
26. Cho trường vector F = . Biểu thức nào sau đây là định nghĩa của toán tử curl F (toán tử xoáy của F)?
A. ∇⋅F = ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z
B. ∇×F = <∂R∕∂y - ∂Q∕∂z, ∂P∕∂z - ∂R∕∂x, ∂Q∕∂x - ∂P∕∂y>
C. ∇f = <∂f∕∂x, ∂f∕∂y, ∂f∕∂z>
D. ∫∫S F⋅dS
27. Để tính thể tích của một vật thể rắn trong không gian ba chiều, phương pháp tích phân nào sau đây thường được sử dụng?
A. Tích phân đường
B. Tích phân mặt
C. Tích phân kép
D. Tích phân bội ba
28. Để tính diện tích bề mặt của một mặt z = g(x, y) trên miền D trong mặt phẳng xy, ta sử dụng công thức tích phân nào?
A. ∫∫D √(1 + (∂g∕∂x)² + (∂g∕∂y)²) dA
B. ∫∫D g(x, y) dA
C. ∫∫D (∂g∕∂x + ∂g∕∂y) dA
D. ∫∫D (∂^2g∕∂x² + ∂^2g∕∂y²) dA
29. Cho miền D là hình tròn đơn vị trong mặt phẳng xy. Tích phân kép ∫∫D (x² + y²) dA trong hệ tọa độ cực được viết lại như thế nào?
A. ∫0²π ∫0¹ r² dr dθ
B. ∫0²π ∫0¹ r³ dr dθ
C. ∫0¹ ∫0²π r² dr dθ
D. ∫0¹ ∫0²π r³ dθ dr
30. Trong tích phân đường loại một ∫C f(x, y, z) ds, đại lượng ds đại diện cho yếu tố gì?
A. Vector tiếp tuyến đơn vị
B. Vector pháp tuyến đơn vị
C. Độ dài cung vi phân
D. Diện tích mặt vi phân
