1. Không gian con (subspace) của không gian vector V là gì?
A. Một tập hợp con của V không đóng với phép cộng vector.
B. Một tập hợp con của V đóng với phép cộng vector nhưng không đóng với phép nhân với số vô hướng.
C. Một tập hợp con của V đóng với cả phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng.
D. Bất kỳ tập hợp con nào của V.
2. Cho hai không gian con U và W của không gian vector V. Tổng của hai không gian con U + W được định nghĩa là:
A. Giao của U và W (U ∩ W).
B. Tập hợp các vector thuộc cả U và W.
C. Tập hợp tất cả các vector có dạng u + w, với u thuộc U và w thuộc W.
D. Hợp của U và W (U ∪ W).
3. Giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Một vector v khác không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.
B. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vector v khác không thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Vết của ma trận A.
4. Ứng dụng của phân tích giá trị сингуляр (SVD - Singular Value Decomposition) là gì?
A. Giải hệ phương trình tuyến tính.
B. Nén dữ liệu và giảm nhiễu.
C. Tính định thức của ma trận.
D. Tìm giá trị riêng của ma trận.
5. Cho không gian vector V và W. Phép biến đổi tuyến tính T: V -> W là một ánh xạ:
A. Bảo toàn phép cộng vector nhưng không bảo toàn phép nhân với số vô hướng.
B. Bảo toàn phép nhân với số vô hướng nhưng không bảo toàn phép cộng vector.
C. Bảo toàn cả phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng.
D. Không bảo toàn cả phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng.
6. Phép chiếu trực giao của vector u lên vector v (v ≠ 0) được tính bằng công thức nào?
A. proj_v(u) = (u.v) / ||v||
B. proj_v(u) = (u.v) / ||v||^2 * v
C. proj_v(u) = (u.v) / ||u||^2 * u
D. proj_v(u) = (u.v) / (||u|| * ||v||)
7. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ này có nghiệm duy nhất khi:
A. det(A) = 0.
B. det(A) ≠ 0 và hạng(A) < n (n là số ẩn).
C. det(A) ≠ 0 và hạng(A) = n (n là số ẩn).
D. hạng(A) < hạng([A|b]).
8. Cho ma trận A vuông cấp n. Đa thức đặc trưng của A được định nghĩa là:
A. det(A - λI)
B. det(A + λI)
C. det(λI - A)
D. trace(A - λI)
9. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính.
C. Các cột của nó độc lập tuyến tính.
D. Nó có ít nhất một hàng toàn số 0.
10. Không gian null (null space) của ma trận A là tập hợp các vector x sao cho:
A. Ax = b, với b là vector khác không.
B. Ax = 0.
C. x = A^-1 * b.
D. x là vector riêng của A.
11. Định thức của ma trận chuyển vị (A^T) có mối quan hệ như thế nào với định thức của ma trận gốc (A)?
A. det(A^T) = -det(A)
B. det(A^T) = 1/det(A)
C. det(A^T) = det(A)
D. Không có mối quan hệ xác định.
12. Vết của ma trận vuông (trace) là gì?
A. Định thức của ma trận.
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận.
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính của ma trận.
D. Hạng của ma trận.
13. Phân tích QR của ma trận A là phân tích A thành tích của:
A. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
B. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
C. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P.
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A.
14. Hai vector u và v được gọi là trực giao nếu:
A. Chúng cùng phương.
B. Tích vô hướng của chúng bằng 0.
C. Tổng của chúng bằng vector không.
D. Chúng tạo thành một cơ sở.
15. Cho ma trận A và B cùng cấp. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng về phép nhân ma trận?
A. Phép nhân ma trận có tính kết hợp: (AB)C = A(BC).
B. Phép nhân ma trận có tính giao hoán: AB = BA.
C. Phép nhân ma trận có tính phân phối đối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC.
D. Tồn tại ma trận đơn vị I sao cho AI = IA = A.
16. Cho ma trận A vuông. Phát biểu nào sau đây tương đương với việc A khả nghịch?
A. Định thức của A bằng 0.
B. Hệ phương trình AX = 0 có nghiệm không tầm thường.
C. Hệ phương trình AX = b có nghiệm duy nhất với mọi b.
D. Các cột của A phụ thuộc tuyến tính.
17. Quy trình Gram-Schmidt được sử dụng để:
A. Giải hệ phương trình tuyến tính.
B. Tìm định thức của ma trận.
C. Trực giao hóa một cơ sở của không gian vector.
D. Tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận.
18. Phép biến đổi tuyến tính T: V -> V được gọi là tự đồng cấu (endomorphism) nếu:
A. V là không gian vector hữu hạn chiều.
B. T là một phép đẳng cấu.
C. Không gian nguồn và không gian đích là cùng một không gian vector (V).
D. T là phép biến đổi tuyến tính khả nghịch.
19. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
20. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ này luôn có nghiệm:
A. Duy nhất khi det(A) ≠ 0.
B. Vô số nghiệm khi det(A) ≠ 0.
C. Nghiệm tầm thường (nghiệm không).
D. Không có nghiệm nếu det(A) = 0.
21. Hạng của ma trận (rank) là gì?
A. Số chiều của không gian cột (column space) của ma trận.
B. Số chiều của không gian hàng (row space) của ma trận.
C. Số chiều của không gian null (null space) của ma trận.
D. Cả lựa chọn 1 và 2.
22. Cho ma trận A và B cùng cấp sao cho AB = 0. Điều gì có thể kết luận về hạng của A và B?
A. Cả A và B đều là ma trận không.
B. Hạng(A) + Hạng(B) phải bằng cấp của ma trận.
C. Không gian cột của B phải nằm trong không gian null của A.
D. A và B phải là ma trận vuông.
23. Phép biến đổi tuyến tính T: R^n -> R^m được gọi là toàn ánh (surjective) nếu:
A. Với mọi y thuộc R^m, tồn tại ít nhất một x thuộc R^n sao cho T(x) = y.
B. Với mọi y thuộc R^m, tồn tại nhiều nhất một x thuộc R^n sao cho T(x) = y.
C. Với mọi y thuộc R^m, tồn tại duy nhất một x thuộc R^n sao cho T(x) = y.
D. T(0) = 0.
24. Chiều của tổng hai không gian con (dim(U + W)) có mối quan hệ với chiều của U, W và giao của chúng (dim(U ∩ W)) như thế nào?
A. dim(U + W) = dim(U) + dim(W) + dim(U ∩ W)
B. dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W)
C. dim(U + W) = dim(U) - dim(W) + dim(U ∩ W)
D. dim(U + W) = dim(U) - dim(W) - dim(U ∩ W)
25. Vector riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Một số vô hướng λ sao cho Av = λv, với v là một vector khác không.
B. Một vector v khác không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.
C. Một vector có độ dài bằng 1.
D. Một vector thuộc không gian null của A.
26. Phép biến đổi tuyến tính T: R^n -> R^m được gọi là đơn ánh (injective) nếu:
A. Với mọi y thuộc R^m, tồn tại ít nhất một x thuộc R^n sao cho T(x) = y.
B. Với mọi y thuộc R^m, tồn tại nhiều nhất một x thuộc R^n sao cho T(x) = y.
C. Với mọi y thuộc R^m, tồn tại duy nhất một x thuộc R^n sao cho T(x) = y.
D. T(0) = 0.
27. Phân tích LU của ma trận vuông A là phân tích A thành tích của:
A. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
B. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
C. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P.
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A.
28. Trong không gian vector R^3, tập hợp các vector nào sau đây là cơ sở?
A. {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
B. {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)}
C. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)}
D. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
29. Cho ma trận A kích thước m x n. Không gian cột (column space) của A là không gian sinh bởi:
A. Các hàng của ma trận A.
B. Các cột của ma trận A.
C. Các vector nghiệm của hệ Ax = 0.
D. Các vector nghiệm của hệ Ax = b.
30. Trong không gian vector, một tập hợp các vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không, trong đó tất cả các hệ số đều khác không.
B. Tổ hợp tuyến tính duy nhất của chúng bằng vector không là tổ hợp với tất cả các hệ số bằng không.
C. Chúng trực giao với nhau.
D. Chúng có cùng độ dài.
