1. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường với tích phân nào?
A. Tích phân bội hai
B. Tích phân bội ba
C. Tích phân mặt
D. Tích phân đường khác
2. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để giải loại phương trình vi phân nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
C. Phương trình vi phân tách biến
D. Phương trình vi phân Bernoulli
3. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Hình dạng đường cong và hàm P, Q
B. Hướng của đường cong và hàm P, Q
C. Tham số hóa của đường cong
D. Chỉ hàm P và Q
4. Giá trị của tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D = [0, 1] × [0, 2] là:
5. Điều kiện để trường vectơ F = (P, Q) là trườngGradient (trường thế) trên miền D đơn liên là gì?
A. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. P = Q
D. ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y = 0
6. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 3x² + 2x là:
A. x³ + x² + C
B. 6x + 2 + C
C. 3x³ + 2x² + C
D. x³ + 2x² + C
7. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt với tích phân nào?
A. Tích phân đường
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân mặt khác
8. Nghiệm riêng của phương trình y′ - y = eˣ có dạng nào?
A. Aeˣ
B. Axeˣ
C. Ax
D. A
9. Tích phân đường loại 1 phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Hướng của đường cong
B. Tham số hóa của đường cong
C. Hình dạng của đường cong và hàm mật độ
D. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong
10. Chuỗi ∑((-1)ⁿ)∕(n+1) là chuỗi gì?
A. Chuỗi hội tụ tuyệt đối
B. Chuỗi phân kỳ
C. Chuỗi hội tụ có điều kiện
D. Chuỗi hình học
11. Công thức Green liên hệ tích phân đường loại 2 với tích phân nào?
A. Tích phân đường loại 1
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân mặt
12. Véctơ gradient của hàm số f(x, y) tại một điểm chỉ hướng nào?
A. Hướng giảm nhanh nhất của hàm số
B. Hướng không đổi của hàm số
C. Hướng tăng nhanh nhất của hàm số
D. Hướng vuông góc với mặt mức
13. Chuỗi số ∑(1∕nᵖ) hội tụ khi nào?
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
14. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑(xⁿ)∕n!
B. ∑((-1)ⁿ × xⁿ)∕n!
C. ∑(xⁿ)
D. ∑((-1)ⁿ × xⁿ)
15. Phương trình vi phân y′' + 4y′ + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C1e²ˣ + C2e⁻²ˣ
B. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
C. y = C1e⁻²ˣ + C2xe⁻²ˣ
D. y = C1e²ˣ + C2xe²ˣ
16. Điều kiện cần để chuỗi số ∑uₙ hội tụ là gì?
A. lim (n→∞) uₙ = 0
B. lim (n→∞) uₙ = 1
C. lim (n→∞) uₙ = ∞
D. ∑uₙ là chuỗi dương
17. Giá trị của tích phân đường ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) là bao nhiêu?
18. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn được sử dụng để xét sự hội tụ của chuỗi số nào?
A. Chuỗi đan dấu
B. Chuỗi dương
C. Chuỗi bất kỳ
D. Chuỗi hình học
19. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp fₓy và fyₓ bằng nhau khi nào?
A. Luôn luôn bằng nhau
B. Khi f(x, y) là hàm đa thức
C. Khi các đạo hàm riêng cấp hai liên tục
D. Khi f(x, y) khả vi
20. Tích phân suy rộng loại 1 có cận tích phân nào sau đây?
A. Cận hữu hạn
B. Cận vô hạn
C. Cận là số phức
D. Cả cận hữu hạn và vô hạn
21. Tích phân mặt loại 1 phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Hướng của mặt
B. Tham số hóa của mặt
C. Hình dạng của mặt và hàm mật độ
D. Đường biên của mặt
22. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa luôn là một khoảng, một nửa khoảng, hay một điểm?
A. Một điểm
B. Một khoảng mở
C. Một khoảng đóng
D. Một khoảng hoặc một điểm
23. Tích phân ∫∫_D f(x, y) dA trong tọa độ cực có dạng:
A. ∫∫_R f(r cosθ, r sinθ) dr dθ
B. ∫∫_R f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
C. ∫∫_R f(r, θ) r dr dθ
D. ∫∫_R f(r, θ) dr dθ
24. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức:
A. π∫[a, b] f(x) dx
B. π∫[a, b] [f(x)]² dx
C. 2π∫[a, b] xf(x) dx
D. ∫[a, b] [f(x)]² dx
25. Hàm số f(x, y) = x² + y² đạt cực tiểu tại điểm nào?
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
26. Tích phân ∫[0, ∞) e⁻ˣ dx bằng bao nhiêu?
27. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x, y) trên một miền đóng và bị chặn đạt được ở đâu?
A. Chỉ ở biên của miền
B. Chỉ ở điểm dừng trong miền
C. Hoặc ở điểm dừng trong miền hoặc trên biên của miền
D. Luôn ở điểm dừng trong miền
28. Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa ∑aₙ(x-c)ⁿ được xác định bởi công thức nào?
A. R = lim (n→∞) |aₙ₊₁∕aₙ|
B. R = 1 ∕ lim (n→∞) |aₙ₊₁∕aₙ|
C. R = lim (n→∞) |aₙ|^(1∕n)
D. R = 1 ∕ lim (n→∞) |aₙ|^(1∕n)
29. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b, ta sử dụng công thức nào sau đây?
A. ∫[a, b] f(x) dx
B. |∫[a, b] f(x) dx|
C. ∫[a, b] |f(x)| dx
D. ∫[a, b] [f(x)]² dx
30. Tích phân mặt loại 2 ∫∫_S F · dS tính đại lượng vật lý nào?
A. Diện tích mặt
B. Thể tích vật thể
C. Thông lượng (flux) của trường vectơ qua mặt
D. Công của trường vectơ
