1. Tích phân lặp ∫_0¹ ∫_0ˣ f(x, y) dy dx có miền tích phân D được mô tả bởi:
A. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
B. 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y
C. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
D. 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ y
2. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x₀, y₀) là:
A. ∇f(x₀, y₀) = 0
B. fₓₓ(x₀, y₀) > 0 và fyy(x₀, y₀) > 0
C. fₓₓ(x₀, y₀) < 0 và fyy(x₀, y₀) < 0
D. fₓy(x₀, y₀) = 0
3. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x² + y² trên miền D: x² + y² ≤ 1 là:
A. 1
B. 0
C. 2
D. Không tồn tại
4. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] được tính bằng công thức nào?
A. ∫_aᵇ f(x(t), y(t)) ||r′(t)|| dt
B. ∫_aᵇ f(x(t), y(t)) r′(t) dt
C. ∫_aᵇ f(x′(t), y′(t)) ||r(t)|| dt
D. ∫_aᵇ f(x′(t), y′(t)) r(t) dt
5. Trong các phép toán vector sau, phép toán nào không xác định?
A. div(grad f)
B. grad(div F)
C. curl(grad f)
D. div(div F)
6. Cho mặt S là mặt cầu x² + y² + z² = R². Vector pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm (x, y, z) trên mặt cầu là:
A. (x∕R, y∕R, z∕R)
B. (-x∕R, -y∕R, -z∕R)
C. (x, y, z)
D. (-x, -y, -z)
7. Trong không gian Oxyz, mặt nào sau đây là mặt trụ tròn xoay có trục là trục Oz?
A. x² + y² = R²
B. y² + z² = R²
C. x² + z² = R²
D. x² + y² + z² = R²
8. Tích phân mặt loại 2 ∫∫_S F · dS, với F là trường vector và S là mặt tham số r(u, v) được tính bằng:
A. ∬_D F(r(u, v)) · (rᵤ × rᵥ) dA
B. ∬_D F(r(u, v)) × (rᵤ × rᵥ) dA
C. ∬_D F(r(u, v)) · (rᵤ + rᵥ) dA
D. ∬_D F(r(u, v)) × (rᵤ + rᵥ) dA
9. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt với tích phân khối như thế nào?
A. ∬_S F · dS = ∭_V div F dV
B. ∬_S F · dS = ∭_V curl F dV
C. ∭_V F dV = ∬_S div F dS
D. ∭_V F dV = ∬_S curl F dS
10. Nếu curl F = 0 trên miền D liên thông, thì trường vector F được gọi là:
A. Trường vector bảo toàn
B. Trường vector solenoid
C. Trường vector gradient
D. Trường vector pháp tuyến
11. Để tính thể tích của một vật thể V trong không gian, ta có thể sử dụng tích phân nào?
A. ∭_V dV
B. ∬_S dS
C. ∮_C dr
D. ∫_aᵇ dx
12. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Biểu thức nào sau đây là vi phân cấp hai của f?
A. d²f = fₓₓ dx² + 2fₓy dxdy + fyy dy²
B. d²f = fₓₓ dx + 2fₓy dxdy + fyy dy
C. d²f = fₓ dx² + 2fy dxdy + fy dy²
D. d²f = fₓ dx + 2fy dxdy + fy dy
13. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường với tích phân mặt như thế nào?
A. ∮_C F · dr = ∬_S curl F · dS
B. ∮_C F · dr = ∬_S div F · dS
C. ∬_S F · dS = ∮_C curl F · dr
D. ∬_S F · dS = ∮_C div F · dr
14. Để tính tích phân bội ba trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi tọa độ là:
A. ρ²sin(φ)
B. ρsin(φ)
C. ρ²cos(φ)
D. ρcos(φ)
15. Công thức Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân mặt trên miền D được giới hạn bởi C như thế nào?
A. ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y) dA
C. ∮_C (P dx - Q dy) = ∬_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
D. ∮_C (P dx + Q dy) = ∭_V (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dV
16. Vector pháp tuyến đơn vị của mặt z = g(x, y) có dạng:
A. (-∂g∕∂x, -∂g∕∂y, 1) ∕ √((∂g∕∂x)² + (∂g∕∂y)² + 1)
B. (∂g∕∂x, ∂g∕∂y, 1) ∕ √((∂g∕∂x)² + (∂g∕∂y)² + 1)
C. (-∂g∕∂x, -∂g∕∂y, -1) ∕ √((∂g∕∂x)² + (∂g∕∂y)² + 1)
D. (∂g∕∂x, ∂g∕∂y, -1) ∕ √((∂g∕∂x)² + (∂g∕∂y)² + 1)
17. Trong tích phân đường loại 2 ∫_C F · dr, F · dr biểu diễn:
A. Công của trường lực F dọc theo đường cong C
B. Thông lượng của trường vector F qua đường cong C
C. Diện tích dưới đường cong C
D. Độ dài đường cong C
18. Trong phép đổi biến tích phân kép sang tọa độ cực, biểu thức dxdy được thay thế bằng:
A. r dr dθ
B. dr dθ
C. r² dr dθ
D. r dθ dr
19. Công thức nào sau đây KHÔNG phải là một dạng của định lý cơ bản của giải tích vector?
A. Định lý Stokes
B. Định lý Divergence
C. Công thức Green
D. Định lý giới hạn trung tâm
20. Cho đường cong C tham số r(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. Đường cong C là:
A. Đường xoắn ốc
B. Đường tròn
C. Đoạn thẳng
D. Elip
21. Cho tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA. Nếu miền D được cho trong tọa độ cực là r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π∕2, miền D là:
A. 1∕4 hình tròn bán kính 2 ở góc phần tư thứ nhất
B. 1∕2 hình tròn bán kính 2 ở nửa mặt phẳng trên
C. Hình tròn bán kính 2
D. 1∕4 hình tròn bán kính 4 ở góc phần tư thứ nhất
22. Cho hàm số f(x, y, z). Gradient của f, ký hiệu ∇f, là một:
A. Trường vector
B. Hàm số vô hướng
C. Số thực
D. Ma trận
23. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Phép toán Divergence của F là:
A. ∇ · F = ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z
B. ∇ × F = (∂R∕∂y - ∂Q∕∂z, ∂P∕∂z - ∂R∕∂x, ∂Q∕∂x - ∂P∕∂y)
C. ∇f = (∂f∕∂x, ∂f∕∂y, ∂f∕∂z)
D. ||∇F|| = √((∂P∕∂x)² + (∂Q∕∂y)² + (∂R∕∂z)²)
24. Tính tích phân ∫∫_D dA, với D là miền giới hạn bởi đường tròn x² + y² = 4. Giá trị của tích phân là:
25. Đường cong mức của hàm số z = f(x, y) là tập hợp các điểm (x, y) sao cho:
A. f(x, y) = c (c là hằng số)
B. f(x, y) = 0
C. ∇f(x, y) = 0
D. z = 0
26. Trong các khẳng định sau về miền xác định của hàm số hai biến, khẳng định nào SAI?
A. Miền xác định luôn là một tập mở.
B. Miền xác định có thể là một tập đóng.
C. Miền xác định có thể không bị chặn.
D. Miền xác định có thể là một tập bị chặn.
27. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
28. Điều kiện đủ để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm dừng (x₀, y₀) là:
A. D(x₀, y₀) > 0 và fₓₓ(x₀, y₀) < 0
B. D(x₀, y₀) > 0 và fₓₓ(x₀, y₀) > 0
C. D(x₀, y₀) < 0
D. D(x₀, y₀) = 0
29. Cho hàm số f(x, y) = xy. Đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 2) theo hướng vector v = (1, 1) là:
30. Cho trường vector bảo toàn F. Khi đó, tích phân đường ∫_C F · dr phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng đường cong C
C. Tham số hóa của đường cong C
D. Hướng của đường cong C
