1. Tích phân đường loại 2 ∫_C P(x,y)dx + Q(x,y)dy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Hình dạng cụ thể của đường cong C.
C. Tham số hóa của đường cong C.
D. Cả điểm đầu, điểm cuối và hình dạng đường cong C.
2. Tiêu chuẩn D′Alembert (tỉ số) dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương ∑aₙ dựa trên giới hạn L = lim(n→∞) (aₙ₊₁∕aₙ). Nếu L = 1, kết luận nào sau đây là ĐÚNG?
A. Chuỗi hội tụ.
B. Chuỗi phân kỳ.
C. Tiêu chuẩn không kết luận được sự hội tụ.
D. Chuỗi vừa hội tụ vừa phân kỳ.
3. Diện tích miền D giới hạn bởi đường cong tham số x = f(t), y = g(t), t ∈ [α, β] và trục Ox được tính bằng công thức nào (giả sử y = g(t) ≥ 0)?
A. ∫(từ α đến β) g(t)f′(t) dt
B. ∫(từ α đến β) f(t)g′(t) dt
C. ∫(từ α đến β) g(t) dt
D. ∫(từ α đến β) |g(t)f′(t)| dt
4. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y′' + 3y′ - 2y² = sin(x)
B. y′ + xy = x³
C. (y′)² + y = eˣ
D. y′'y′ + y = 0
5. Chuỗi ∑(từ n=1 đến ∞) (-1)ⁿ⁻¹∕(nᵖ) hội tụ khi nào?
A. p > 0
B. p ≥ 0
C. p > 1
D. p ≥ 1
6. Trong phép đổi biến số cho tích phân bội hai sang tọa độ cực, yếu tố vi phân diện tích dA được thay thế bằng:
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r² dr dθ
D. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
7. Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = f(x,y) ≥ 0 và miền D trên mặt phẳng xy được tính bằng công thức nào?
A. ∫∫_D f(x,y) dA
B. ∫_aᵇ f(x) dx
C. ∫∫_D (f(x,y))² dA
D. ∫∫∫_V dV
8. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường trên đường cong kín C và tích phân bội hai trên miền D được giới hạn bởi C. Công thức này phát biểu điều gì?
A. Tích phân đường của trường vectơ bảo toàn dọc theo đường cong kín bằng 0.
B. Tích phân đường của trường vectơ trên đường cong kín bằng tích phân bội hai của một hàm vô hướng trên miền D.
C. Tích phân đường của trường vectơ trên đường cong kín bằng tích phân bội hai của độ xoáy (curl) của trường vectơ trên miền D.
D. Tích phân đường của trường vectơ trên đường cong kín bằng tích phân bội hai của độ phát (divergence) của trường vectơ trên miền D.
9. Tính tích phân ∫(từ 0 đến ∞) e⁻ˣ dx. Giá trị của tích phân này là:
10. Trong tích phân suy rộng loại 2, điểm kỳ dị nằm ở đâu?
A. Tại vô cùng.
B. Tại một điểm bên trong khoảng tích phân.
C. Tại một hoặc cả hai cận tích phân hữu hạn.
D. Tại mọi điểm trên khoảng tích phân.
11. Xét chuỗi số ∑(từ n=1 đến ∞) aₙ. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?
A. Nếu lim(n→∞) aₙ = 0 thì chuỗi hội tụ.
B. Nếu chuỗi hội tụ thì lim(n→∞) aₙ = 0.
C. Nếu aₙ > 0 và chuỗi hội tụ thì ∑(từ n=1 đến ∞) aₙ² phân kỳ.
D. Nếu ∑(từ n=1 đến ∞) |aₙ| hội tụ thì ∑(từ n=1 đến ∞) aₙ phân kỳ.
12. Flux của trường vectơ F qua mặt S được tính bằng tích phân mặt nào?
A. ∫∫_S F·dr
B. ∫∫_S F·dS
C. ∫_C F·dr
D. ∫∫∫_V div(F) dV
13. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn được sử dụng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương ∑aₙ bằng cách so sánh với chuỗi ∑bₙ đã biết tính hội tụ. Nếu lim(n→∞) (aₙ∕bₙ) = c > 0 (hữu hạn và khác 0), thì:
A. ∑aₙ hội tụ khi và chỉ khi ∑bₙ phân kỳ.
B. ∑aₙ hội tụ khi và chỉ khi ∑bₙ hội tụ.
C. ∑aₙ luôn hội tụ.
D. ∑aₙ luôn phân kỳ.
14. Chuỗi Taylor của hàm f(x) tại x = a được dùng để:
A. Tính đạo hàm của f(x).
B. Tính tích phân của f(x).
C. Xấp xỉ giá trị của f(x) xung quanh điểm a bằng một đa thức.
D. Tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0.
15. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp fₓy và fyₓ của hàm f(x,y) bằng nhau khi nào?
A. Luôn luôn bằng nhau với mọi hàm f(x,y).
B. Khi f(x,y) là hàm đa thức.
C. Khi các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm đang xét.
D. Khi f(x,y) khả vi tại điểm đang xét.
16. Chuỗi lũy thừa ∑(từ n=0 đến ∞) cₙ(x-a)ⁿ có bán kính hội tụ R. Nếu R = 0, điều gì xảy ra?
A. Chuỗi hội tụ tại mọi x.
B. Chuỗi chỉ hội tụ tại x = a.
C. Chuỗi hội tụ khi |x - a| < 0.
D. Chuỗi phân kỳ tại mọi x ≠ a.
17. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V dV trong tọa độ trụ, yếu tố vi phân thể tích dV được thay thế bằng:
A. r dz dr dθ
B. r² dz dr dθ
C. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
D. dz dr dθ
18. Cho tích phân suy rộng loại 1: ∫(từ a đến +∞) f(x) dx. Điều kiện nào sau đây ĐỦ để tích phân này hội tụ?
A. f(x) → 0 khi x → +∞.
B. f(x) > 0 với mọi x ≥ a.
C. Tồn tại số M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M∕xᵖ với p > 1 và x ≥ a.
D. Tồn tại số M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M với mọi x ≥ a.
19. Để giải phương trình vi phân y′ + P(x)y = Q(x), ta sử dụng phương pháp hệ số tích phân. Hệ số tích phân được xác định bằng công thức nào?
A. e∫P⁽ˣ dx)
B. ∫P(x) dx
C. e∫Q⁽ˣ dx)
D. ∫Q(x) dx
20. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân bội hai trên miền phẳng.
B. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân mặt trên mặt cong giới hạn bởi đường cong đó.
C. Tích phân mặt trên mặt kín và tích phân bội ba trên miền không gian giới hạn bởi mặt đó.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
21. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y′ + xy = x²
B. y′ = x + y
C. y′ = xy²
D. y′ + y = sin(x)
22. Phương pháp nào sau đây KHÔNG phải là phương pháp tính tích phân từng phần?
A. Đặt u là hàm đa thức và dv là hàm lượng giác.
B. Đặt u là hàm logarit hoặc hàm lượng giác ngược và dv là hàm đa thức.
C. Đặt u và dv sao cho tích phân ∫vdu đơn giản hơn ∫udv.
D. Đặt u và dv tùy ý, miễn là đạo hàm và nguyên hàm của chúng tồn tại.
23. Trong tọa độ cầu (ρ, φ, θ), yếu tố vi phân thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ρ² sin(θ) dρ dφ dθ
C. ρ sin(φ) dρ dφ dθ
D. dρ dφ dθ
24. Cho trường vectơ F = (P, Q). Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để trường vectơ F là trường thế trên miền D liên thông?
A. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x trên D.
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y trên D.
C. P và Q liên tục trên D.
D. ∫_C F·dr = 0 với mọi đường cong kín C trong D.
25. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′' + 4y = 0 có dạng nào?
A. y = C₁ₑ²ˣ + C₂ₑ⁻²ˣ
B. y = C₁cₒₛ(2x) + C₂ₛᵢₙ(2x)
C. y = C₁ₑ²ⁱˣ + C₂ₑ⁻²ⁱˣ
D. y = C₁ + C₂ₓ
26. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng số?
A. y′' + xy′ + y = 0
B. y′' + 3y′ - 2y = sin(x)
C. y′' + 2y′ + 5y = 0
D. y′' + (y′)² + y = 0
27. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội ba. Nó phát biểu rằng:
A. Flux của trường vectơ qua mặt kín S bằng tích phân bội ba của độ xoáy (curl) của trường vectơ trong miền V giới hạn bởi S.
B. Flux của trường vectơ qua mặt kín S bằng tích phân bội ba của độ phát (divergence) của trường vectơ trong miền V giới hạn bởi S.
C. Tích phân đường của trường vectơ dọc theo đường cong kín C bằng tích phân mặt của độ xoáy (curl) của trường vectơ trên mặt S giới hạn bởi C.
D. Tích phân đường của trường vectơ dọc theo đường cong kín C bằng tích phân mặt của độ phát (divergence) của trường vectơ trên mặt S giới hạn bởi C.
28. Công thức nào sau đây KHÔNG phải là công thức tính diện tích bề mặt khi quay đường cong y = f(x) quanh trục Ox từ x = a đến x = b?
A. ∫(từ a đến b) 2πf(x)√(1 + (f′(x))²) dx
B. ∫(từ a đến b) 2πy√(1 + (dy∕dx)²) dx
C. ∫(từ a đến b) π(f(x))² dx
D. ∫(từ a đến b) 2π|f(x)|√(1 + (f′(x))²) dx
29. Cho hàm f(x,y). Vi phân toàn phần df được định nghĩa là:
A. (∂f∕∂x)dx + (∂f∕∂y)dy
B. (∂f∕∂x)dx - (∂f∕∂y)dy
C. (∂f∕∂y)dx + (∂f∕∂x)dy
D. (∂^2f∕∂x²)dx + (∂^2f∕∂y²)dy
30. Để tính tích phân ∫∫_D f(x,y) dA, miền D được cho bởi 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ x. Thứ tự lấy tích phân nào sau đây là ĐÚNG?
A. ∫(từ 0 đến 1) ∫(từ x đến x²) f(x,y) dy dx
B. ∫(từ 0 đến 1) ∫(từ x² đến x) f(x,y) dy dx
C. ∫(từ x² đến x) ∫(từ 0 đến 1) f(x,y) dx dy
D. ∫(từ x đến x²) ∫(từ 0 đến 1) f(x,y) dx dy
