1. Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu:
A. A = A^T
B. A = -A^T
C. A * A^T = I
D. det(A) = 0
2. Vectơ nào sau đây là vectơ riêng của ma trận [[2, 0], [0, 3]]?
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. Cả đáp án 2 và 3.
3. Phép biến đổi sơ cấp loại 3 trên ma trận là:
A. Hoán đổi hai hàng.
B. Nhân một hàng với một số khác 0.
C. Cộng vào một hàng một bội của hàng khác.
D. Xóa một hàng.
4. Khi nào hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng?
A. Khi chúng có cùng kích thước.
B. Khi tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B = P^(-1)AP.
C. Khi chúng có cùng định thức.
D. Khi chúng có cùng vết.
5. Không gian nghiệm của ma trận A là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ b sao cho Ax = b có nghiệm.
B. Tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0.
C. Không gian sinh bởi các cột của A.
D. Không gian sinh bởi các hàng của A.
6. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
7. Trong R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Cùng phương với u và v.
B. Vuông góc với cả u và v.
C. Nằm trong mặt phẳng sinh bởi u và v.
D. Song song với mặt phẳng sinh bởi u và v.
8. Cho ma trận A vuông cấp n. Vết của ma trận A (tr(A)) là gì?
A. Định thức của ma trận A.
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính của A.
D. Hạng của ma trận A.
9. Cho ma trận A vuông. Khi nào ma trận A khả nghịch?
A. Khi định thức của A bằng 0.
B. Khi định thức của A khác 0.
C. Khi hạng của A nhỏ hơn cấp của ma trận.
D. Khi tất cả các giá trị riêng của A bằng 0.
10. Trong không gian vectơ R^3, tập hợp các vectơ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} tạo thành:
A. Một không gian con.
B. Một cơ sở của R^3.
C. Một tập sinh của R^3 nhưng không độc lập tuyến tính.
D. Một tập độc lập tuyến tính nhưng không sinh R^3.
11. Không gian con sinh bởi tập hợp các vectơ S = {v1, v2, ..., vk} là gì?
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của v1, v2, ..., vk.
B. Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính trong S.
C. Tập hợp các vectơ vuông góc với tất cả các vectơ trong S.
D. Tập hợp tất cả các bội số vô hướng của v1, v2, ..., vk.
12. Không gian cột của ma trận A là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0.
B. Tập hợp tất cả các vectơ b sao cho Ax = b có nghiệm.
C. Không gian sinh bởi các hàng của A.
D. Không gian nghiệm của A.
13. Giá trị riêng của ma trận tam giác trên là:
A. Các phần tử trên đường chéo chính.
B. Các phần tử trên đường chéo phụ.
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
14. Phương trình đặc trưng của ma trận A được sử dụng để tìm:
A. Định thức của A.
B. Hạng của A.
C. Giá trị riêng của A.
D. Ma trận nghịch đảo của A.
15. Cho ma trận A kích thước m x n. Khi nào hệ phương trình Ax = b là hệ Cramer?
A. Khi m < n.
B. Khi m > n.
C. Khi m = n và det(A) ≠ 0.
D. Khi m = n và det(A) = 0.
16. Tính chất nào sau đây KHÔNG đúng với phép nhân ma trận?
A. Tính kết hợp: (AB)C = A(BC).
B. Tính giao hoán: AB = BA.
C. Tính phân phối: A(B + C) = AB + AC.
D. Tính chất đơn vị: AI = IA = A.
17. Cơ sở của không gian vectơ là gì?
A. Một tập sinh của không gian vectơ.
B. Một tập độc lập tuyến tính của không gian vectơ.
C. Một tập hợp vừa sinh vừa độc lập tuyến tính của không gian vectơ.
D. Một tập con của không gian vectơ.
18. Định thức của ma trận đơn vị cấp n là:
19. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nếu det(A) ≠ 0, hệ phương trình có:
A. Vô số nghiệm.
B. Nghiệm duy nhất.
C. Vô nghiệm.
D. Có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
20. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian hàng.
B. Số chiều của không gian cột.
C. Số chiều của không gian nghiệm.
D. Cả đáp án 1 và 2.
21. Cho hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích vô hướng của u và v là:
22. Điều gì xảy ra với định thức của ma trận khi hoán đổi hai hàng của nó?
A. Định thức không thay đổi.
B. Định thức đổi dấu.
C. Định thức nhân với 2.
D. Định thức chia cho 2.
23. Nếu ma trận A khả nghịch, định thức của ma trận nghịch đảo A^(-1) bằng:
A. det(A)
B. 1/det(A)
C. -det(A)
D. 0
24. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B (cùng cấp) bằng:
A. det(A) + det(B)
B. det(A) * det(B)
C. det(A) - det(B)
D. det(A) / det(B)
25. Trong không gian R^2, phép chiếu vuông góc lên trục x được biểu diễn bằng ma trận nào?
A. [[1, 0], [0, 1]]
B. [[1, 0], [0, 0]]
C. [[0, 0], [0, 1]]
D. [[0, 1], [1, 0]]
26. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận A chuyển vị (A^T) bằng:
A. −det(A)
B. det(A)
C. det(A)^T
D. 1/det(A)
27. Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là gì?
A. Ma trận hệ số khả nghịch.
B. Hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng.
C. Định thức của ma trận hệ số khác 0.
D. Số ẩn bằng số phương trình.
28. Ma trận nào sau đây KHÔNG phải là ma trận sơ cấp?
A. Ma trận đơn vị.
B. Ma trận thu được từ ma trận đơn vị bằng một phép biến đổi sơ cấp.
C. Ma trận có định thức bằng 1.
D. Ma trận không khả nghịch.
29. Tính chất tuyến tính của phép biến đổi tuyến tính T nghĩa là:
A. T(u + v) = T(u) + T(v) và T(cu) = cT(u).
B. T(u + v) = T(u)T(v).
C. T(cu) = c + T(u).
D. T(uv) = T(u)T(v).
30. Trong phân tích LU của ma trận A, ma trận L là:
A. Ma trận tam giác trên.
B. Ma trận tam giác dưới.
C. Ma trận đường chéo.
D. Ma trận đơn vị.
