1. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds dùng để tính:
A. Diện tích miền D
B. Thể tích khối V
C. Độ dài đường cong C
D. Khối lượng dây cong C với mật độ f(x,y)
2. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi điều hòa?
A. ∑(từ n=1 đến ∞) 1∕n²
B. ∑(từ n=1 đến ∞) 1∕2ⁿ
C. ∑(từ n=1 đến ∞) 1∕n
D. ∑(từ n=1 đến ∞) (-1)ⁿ∕n
3. Phương trình vi phân y′' + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
B. C₁cos(2x) + C₂sin(2x)
C. C₁e⁴ˣ + C₂e⁻⁴ˣ
D. C₁cos(4x) + C₂sin(4x)
4. Gradient của hàm số f(x, y, z) = xyz là một:
A. Số vô hướng
B. Vectơ
C. Ma trận
D. Hàm số vô hướng
5. Để tính tích phân ∫√(a² - x²) dx, phép đổi biến lượng giác nào là phù hợp nhất?
A. x = a tan(θ)
B. x = a sec(θ)
C. x = a sin(θ)
D. x = a cot(θ)
6. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA trong tọa độ cực có dạng:
A. ∫∫_D f(r cosθ, r sinθ) dr dθ
B. ∫∫_D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
C. ∫∫_D f(r, θ) r dr dθ
D. ∫∫_D f(r, θ) dr dθ
7. Đạo hàm của hàm số F(x) = ∫(từ a đến x) f(t) dt theo Định lý cơ bản của Giải tích là:
A. F′(x) = ∫(từ a đến x) f′(t) dt
B. F′(x) = f(x)
C. F′(x) = f(a)
D. F′(x) = F(a)
8. Tích phân xác định ∫(từ 0 đến 1) x³ dx bằng:
A. 1∕4
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 1
9. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tuyến tính cấp một?
A. y′' + y′ + y = 0
B. y′ + xy = x²
C. (y′)² + y = x
D. yy′ + x = 0
10. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑(từ n=0 đến ∞) xⁿ ∕ n!
B. ∑(từ n=0 đến ∞) (-1)ⁿ xⁿ ∕ n!
C. ∑(từ n=0 đến ∞) x²ⁿ ∕ (2n)!
D. ∑(từ n=0 đến ∞) xⁿ ∕ (2n)!
11. Tích phân suy rộng loại 1 có cận tích phân là:
A. Hữu hạn và xác định
B. Vô hạn hoặc không xác định
C. Luôn luôn là vô hạn
D. Luôn luôn là hữu hạn
12. Điều kiện để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm dừng (x₀, y₀) dựa trên định thức D = fₓₓ fyy - (fₓy)² là:
A. D > 0
B. D < 0
C. D ≠ 0
D. D = 0
13. Tiêu chuẩn nào sau đây KHÔNG dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương?
A. Tiêu chuẩn so sánh
B. Tiêu chuẩn D′Alembert (tỉ số)
C. Tiêu chuẩn Cauchy (căn)
D. Tiêu chuẩn Leibniz
14. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo sự hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ aₙ xⁿ tại x = x₀?
A. |x₀| < R, với R là bán kính hội tụ
B. Chuỗi hội tụ tuyệt đối tại x = x₀
C. Chuỗi hội tụ có điều kiện tại x = x₀
D. |x₀| > R, với R là bán kính hội tụ
15. Hệ số tích phân (integrating factor) để giải phương trình vi phân tuyến tính y′ + P(x)y = Q(x) là:
A. e^∫P(x) dx
B. e⁻∫P⁽ˣ dx)
C. ∫P(x) dx
D. -∫P(x) dx
16. Giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình nào?
A. det(A)
B. tr(A)
C. det(A - λI) = 0
D. tr(A - λI) = 0
17. Trong tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ρ sin(φ) dρ dφ dθ
C. ρ² cos(φ) dρ dφ dθ
D. ρ cos(φ) dρ dφ dθ
18. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên quy tắc đạo hàm nào?
A. Quy tắc tổng
B. Quy tắc tích
C. Quy tắc thương
D. Quy tắc chuỗi
19. Chuỗi số ∑(từ n=1 đến ∞) 1∕nᵖ hội tụ khi nào?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p ≥ 1
D. p > 1
20. Trong phương trình vi phân Bernoulli y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ (n ≠ 0, 1), phép đổi biến nào đưa về phương trình tuyến tính?
A. v = y
B. v = y′
C. v = y¹⁻ⁿ
D. v = ln(y)
21. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. 2
B. x²
C. x² + C
D. 2x² + C
22. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x² + C
B. x² + x + C
C. 2x² + x + C
D. 2
23. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm f(x, y) theo x rồi theo y ký hiệu là:
A. ∂²f∕∂x²
B. ∂²f∕∂y²
C. ∂²f∕∂x∂y
D. ∂²f∕∂y∂x
24. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường loại 2 với tích phân mặt nào?
A. Tích phân mặt thông lượng
B. Tích phân mặt vô hướng
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân bội ba
25. Điều kiện cần để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ là:
A. lim (n→∞) aₙ = 0
B. lim (n→∞) aₙ = 1
C. lim (n→∞) aₙ = ∞
D. ∑ |aₙ| hội tụ
26. Để tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt z = f(x, y) và miền D trên mặt phẳng xy, ta dùng:
A. Tích phân đường loại 1
B. Tích phân đường loại 2
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân bội ba
27. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(từ n=0 đến ∞) aₙ(x-c)ⁿ được xác định bởi công thức nào?
A. R = lim sup |aₙ|^(1∕n)
B. R = 1 ∕ lim sup |aₙ|^(1∕n)
C. R = lim inf |aₙ|^(1∕n)
D. R = 1 ∕ lim inf |aₙ|^(1∕n)
28. Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π biểu diễn hàm số dưới dạng:
A. Tổng của các đa thức
B. Tổng của các hàm mũ
C. Tổng của các hàm lượng giác sin và cosin
D. Tổng của các hàm hyperbol
29. Công thức phân kỳ (Gauss) liên hệ tích phân mặt kín với tích phân nào?
A. Tích phân đường
B. Tích phân mặt
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân bội ba
30. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân bội một
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân suy rộng
