1. Khẳng định nào sau đây về tích phân suy rộng loại 1 là đúng?
A. Nếu limₓ→₊∞ f(x) = 0 thì ∫_a⁺∞ f(x) dx hội tụ.
B. Nếu ∫_a⁺∞ |f(x)| dx hội tụ thì ∫_a⁺∞ f(x) dx hội tụ.
C. Nếu ∫_a⁺∞ f(x) dx hội tụ thì ∫_a⁺∞ |f(x)| dx hội tụ.
D. Nếu f(x) > 0 và ∫_a⁺∞ f(x) dx hội tụ thì limₓ→₊∞ f(x) > 0.
2. Trong không gian Oxyz, phương trình x² + y² + z² - 2x = 0 biểu diễn hình gì?
A. Mặt phẳng
B. Mặt trụ
C. Mặt cầu
D. Mặt nón
3. Diện tích mặt S được tham số bởi r(u, v) = (u, v, u² + v²) với u² + v² ≤ 1 được tính bằng công thức nào?
A. ∫∫_(u²+v²≤1) √(1 + 2u + 2v) du dv
B. ∫∫_(u²+v²≤1) √(1 + 4u² + 4v²) du dv
C. ∫∫_(u²+v²≤1) √(1 + u² + v²) du dv
D. ∫∫_(u²+v²≤1) (u² + v²) du dv
4. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. (-1, 0) và (0, -1)
5. Cho chuỗi hàm số ∑_(n=1)^∞ xⁿ ∕ n². Miền hội tụ của chuỗi hàm số này là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1)
C. (-1, 1]
D. [-1, 1]
6. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oxy)?
A. z = 0
B. z = 1
C. x = 1
D. y = 1
7. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C y dx + x dy, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
8. Đường cong C được tham số bởi r(t) = (t², t³), 0 ≤ t ≤ 1. Tính ∫_C x ds.
9. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính tích phân kép ∫∫_D f(x, y) dA, với D là hình vuông [0, 1] × [0, 1].
10. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt nào?
A. Tích phân kép
B. Tích phân mặt
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân đường loại 2
11. Cho trường vectơ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để F là trường vectơGradient là:
A. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
B. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
C. ∂P∕∂x = -∂Q∕∂y
D. ∂P∕∂y = -∂Q∕∂x
12. Định lý Divergence (Gauss-Ostrogradsky) liên hệ giữa:
A. Thông lượng qua mặt kín và tích phân đường
B. Thông lượng qua mặt kín và tích phân mặt
C. Thông lượng qua mặt kín và tích phân bội ba
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba
13. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (t², sin(t), eᵗ) là:
A. (2t, cos(t), eᵗ)
B. (t, cos(t), eᵗ)
C. (2t, -sin(t), eᵗ)
D. (2, -sin(t), eᵗ)
14. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x∕2)ⁿ hội tụ khi nào?
A. |x| < 1
B. |x| < 2
C. |x| < 4
D. Với mọi x
15. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính div F.
16. Trong hệ tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (x, y, z) = (1, 1, 1) có tọa độ trụ là:
A. (√2, π∕4, 1)
B. (√2, π∕2, 1)
C. (2, π∕4, 1)
D. (2, π∕2, 1)
17. Giá trị của tích phân ∫_0⁺∞ e⁻ˣ dx là:
18. Giá trị của tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là hình hộp chữ nhật [0, 1] × [0, 2] × [0, 3], là:
19. Cho hàm số f(x, y) = eˣʸ. Tính đạo hàm riêng hỗn hợp ∂^2f∕∂x∂y.
A. eˣʸ
B. xeˣʸ
C. yeˣʸ
D. (1 + xy)eˣʸ
20. Cho hàm số f(x, y) có vi phân toàn phần df = (2x + y)dx + (x + 2y)dy. Tìm f(x, y).
A. x² + xy + y² + C
B. x² + 2xy + y² + C
C. 2x² + xy + 2y² + C
D. x² + y² + C
21. Trong không gian Oxyz, mặt trụ tròn xoay có trục Oz và bán kính R = 2 có phương trình là:
A. x² + y² = 2
B. x² + y² = 4
C. x² + z² = 4
D. y² + z² = 4
22. Cho chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (-1)ⁿ⁺¹ ∕ n. Chuỗi này:
A. Hội tụ tuyệt đối
B. Phân kỳ
C. Hội tụ có điều kiện
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
23. Tính curl của trường vectơ F(x, y, z) = (y, -x, 0).
A. (0, 0, -2)
B. (0, 0, 2)
C. (0, 0, 0)
D. (-2, 2, 0)
24. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5 là vectơ nào?
A. (2, 1, 3)
B. (2, -1, 3)
C. (2, -1, -3)
D. (-2, 1, -3)
25. Đường cong giao tuyến của mặt cầu x² + y² + z² = 4 và mặt phẳng z = 1 là hình gì?
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Elip
26. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Tính đạo hàm riêng cấp một của f theo x tại điểm (1, 2).
27. Trong không gian Oxyz, mặt hyperboloid một tầng có phương trình dạng nào?
A. x²∕a² + y²∕b² - z²∕c² = 1
B. x²∕a² + y²∕b² + z²∕c² = 1
C. x²∕a² - y²∕b² - z²∕c² = 1
D. -x²∕a² - y²∕b² - z²∕c² = 1
28. Công thức Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân kép
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba
C. Tích phân đường và tích phân mặt
D. Tích phân kép và tích phân bội ba
29. Trong các khẳng định sau về hội tụ của chuỗi số dương, khẳng định nào SAI?
A. Nếu lim (n→∞) aₙ = 0 thì chuỗi ∑ aₙ hội tụ.
B. Nếu chuỗi ∑ aₙ hội tụ thì lim (n→∞) aₙ = 0.
C. Nếu aₙ ≤ bₙ và ∑ bₙ hội tụ thì ∑ aₙ hội tụ.
D. Nếu aₙ ≥ bₙ > 0 và ∑ bₙ phân kỳ thì ∑ aₙ phân kỳ.
30. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đường cong tham số r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π và f(x, y) = 1, có giá trị bằng bao nhiêu?
