Đề 7 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Giá trị kỳ dị (singular value) của ma trận A liên quan đến giá trị riêng của ma trận nào?

A. A^T * A

B. A + A^T

C. A - A^T

D. A^(-1)

2. Phép chuẩn hóa Gram-Schmidt được sử dụng để làm gì?

A. Biến đổi một cơ sở bất kỳ thành một cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn.

B. Tính định thức của ma trận.

C. Giải hệ phương trình tuyến tính.

D. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng.

3. Trong không gian vectơ R^3, tập hợp các vectơ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là cơ sở chuẩn. Véc tơ tọa độ của v = (2, -3, 4) đối với cơ sở chuẩn này là:

A. (2, -3, 4)

B. (1, 0, 0)

C. (0, 1, 0)

D. (0, 0, 1)

4. Biến đổi tuyến tính T: V → W được gọi là toàn ánh (surjective) nếu:

A. Với mọi w thuộc W, tồn tại ít nhất một v thuộc V sao cho T(v) = w.

B. Với mọi v1, v2 thuộc V, nếu T(v1) = T(v2) thì v1 = v2.

C. Với mọi v thuộc V, T(v) = 0 thì v = 0.

D. Không gian nghiệm Ker(T) = {0}.

5. Cho không gian vectơ V và một không gian con W của V. Số chiều của không gian thương V/W được tính như thế nào?

A. dim(V/W) = dim(V) - dim(W)

B. dim(V/W) = dim(W) - dim(V)

C. dim(V/W) = dim(V) + dim(W)

D. dim(V/W) = dim(V) * dim(W)

6. Biến đổi tuyến tính T: V → W được gọi là đơn ánh (injective) nếu:

A. Với mọi v1, v2 thuộc V, nếu T(v1) = T(v2) thì v1 = v2.

B. Với mọi w thuộc W, tồn tại ít nhất một v thuộc V sao cho T(v) = w.

C. Với mọi v thuộc V, T(v) = 0 thì v = 0.

D. Không gian ảnh Im(T) = W.

7. Trong không gian vectơ R^2, phép quay quanh gốc tọa độ một góc θ là một biến đổi tuyến tính. Ma trận biểu diễn của phép quay này đối với cơ sở chuẩn là:

A. [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]

B. [[cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), cos(θ)]]

C. [[sin(θ), cos(θ)], [cos(θ), -sin(θ)]]

D. [[-cos(θ), sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]

8. Phân tích LU của ma trận vuông A là gì?

A. Phân tích A thành tích của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U: A = LU.

B. Phân tích A thành tổng của ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P: A = P + D.

C. Phân tích A thành tích của ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R: A = QR.

D. Phân tích A thành tổng của ma trận đối xứng S và ma trận phản đối xứng K: A = S + K.

9. Cho ma trận A vuông cấp n. Vết (trace) của ma trận A, ký hiệu tr(A), được tính như thế nào?

A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.

B. Định thức của ma trận A.

C. Hạng của ma trận A.

D. Tích các phần tử trên đường chéo chính của A.

10. Cho không gian vectơ V có tích trong. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng với mọi u, v thuộc V:

A. || ≤ ||u|| * ||v||

B. || ≥ ||u|| * ||v||

C. ≤ ||u|| + ||v||

D. ≥ ||u|| + ||v||

11. Hạng của ma trận (rank) là gì?

A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.

B. Số chiều của không gian nghiệm của hệ Ax = 0.

C. Số lượng hàng của ma trận.

D. Định thức của ma trận.

12. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu A^(-1), có tính chất nào sau đây?

A. (A^(-1))^(-1) = A

B. (A^(-1))^T = (A^T)^(-1)

C. (cA)^(-1) = (1/c)A^(-1) với c là hằng số khác 0

D. Tất cả các đáp án trên đều đúng

13. Trong không gian vectơ R^3, cho hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích có hướng (tích vectơ) của u và v là vectơ nào?

A. (-3, 6, -3)

B. (3, -6, 3)

C. ( -3, -6, -3)

D. (3, 6, 3)

14. Khẳng định nào sau đây về không gian con là ĐÚNG?

A. Giao của hai không gian con luôn là một không gian con.

B. Hợp của hai không gian con luôn là một không gian con.

C. Phần bù của một không gian con luôn là một không gian con.

D. Không gian con phải chứa ít nhất hai vectơ khác nhau.

15. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là det(A^T), bằng bao nhiêu?

A. det(A)

B. -det(A)

C. det(A)^T

D. 1/det(A)

16. Cơ sở của một không gian vectơ là gì?

A. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính sinh ra không gian vectơ đó.

B. Một tập hợp các vectơ phụ thuộc tuyến tính sinh ra không gian vectơ đó.

C. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính không sinh ra không gian vectơ đó.

D. Bất kỳ tập hợp các vectơ nào trong không gian vectơ.

17. Cho ma trận A vuông cấp n. Đa thức đặc trưng của ma trận A được định nghĩa là:

A. det(A - λI), với I là ma trận đơn vị cấp n và λ là biến số.

B. det(A).

C. trace(A).

D. rank(A).

18. Tích vô hướng (tích trong) của hai vectơ u và v có tính chất nào sau đây?

A. u · v = v · u (tính giao hoán)

B. u · (v + w) = u · v + u · w (tính phân phối)

C. (cu) · v = c(u · v) với c là hằng số

D. Tất cả các đáp án trên đều đúng

19. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b?

A. Khử Gauss (Gaussian elimination).

B. Phân tích ma trận thành tích các ma trận sơ cấp.

C. Tính định thức bằng khai triển theo hàng hoặc cột.

D. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng.

20. Định lý Rank-Nullity phát biểu mối quan hệ giữa hạng (rank) và số chiều không gian nghiệm (nullity) của ma trận A kích thước m x n như thế nào?

A. rank(A) + nullity(A) = n

B. rank(A) - nullity(A) = n

C. rank(A) + nullity(A) = m

D. rank(A) * nullity(A) = m*n

21. Trong không gian vectơ R^n, một tập hợp gồm n+1 vectơ bất kỳ luôn:

A. Phụ thuộc tuyến tính.

B. Độc lập tuyến tính.

C. Sinh ra R^n.

D. Là cơ sở của R^n.

22. Trong không gian vectơ, một tập hợp các vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu:

A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính khác không của các vectơ bằng vectơ không.

B. Mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ đều bằng vectơ không.

C. Không tồn tại tổ hợp tuyến tính khác không của các vectơ bằng vectơ không.

D. Các vectơ đôi một trực giao.

23. Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu:

A. A^T * A = I, với I là ma trận đơn vị.

B. A^T = A.

C. det(A) = 0.

D. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1.

24. Giá trị riêng (eigenvalue) của ma trận vuông A là gì?

A. Một số λ sao cho tồn tại vectơ khác không v thỏa Av = λv.

B. Định thức của ma trận A.

C. Hạng của ma trận A.

D. Vết của ma trận A.

25. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

A. det(A) ≠ 0

B. det(A) = 0

C. rank(A) < n

D. rank(A) < rank([A|b])

26. Không gian nghiệm (null space) của ma trận A là gì?

A. Tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0.

B. Tập hợp tất cả các vectơ b sao cho hệ Ax = b có nghiệm.

C. Không gian cột của ma trận A.

D. Không gian hàng của ma trận A.

27. Trong không gian vectơ R^2, phép chiếu vuông góc lên trục x là một biến đổi tuyến tính. Ma trận biểu diễn của phép chiếu này đối với cơ sở chuẩn là:

A. [[1, 0], [0, 0]]

B. [[0, 1], [1, 0]]

C. [[0, 0], [0, 1]]

D. [[1, 1], [1, 1]]

28. Cho biến đổi tuyến tính T: R^2 → R^2 có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chuẩn là [[1, 2], [3, 4]]. Ảnh của vectơ v = (1, -1) qua biến đổi T là vectơ nào?

A. (-1, -1)

B. (1, 1)

C. (3, 7)

D. (-3, -7)

29. Cho ma trận A và B cùng cấp sao cho tích AB xác định. Khi đó, (AB)^T bằng:

A. B^T * A^T

B. A^T * B^T

C. A * B^T

D. B * A^T

30. Hai vectơ u và v được gọi là trực giao nếu:

A. Tích vô hướng của chúng bằng 0 (u · v = 0).

B. Chúng cùng phương.

C. Chúng ngược hướng.

D. Tổng của chúng bằng vectơ không.