1. Tích phân bội ba $iiintᵥ dV$ tính:
A. Thể tích khối V
B. Diện tích mặt biên của V
C. Mômen quán tính của V
D. Khối lượng của V
2. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $sumₙ₌₀⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{xⁿ}{n!}$ là:
A. $(-infty, +infty)$
B. $[-1, 1]$
C. $(-1, 1)$
D. $[0, +infty)$
3. Phương pháp nhân tử Lagrange dùng để tìm:
A. Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến
B. Cực trị tự do của hàm nhiều biến
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân đường
4. Chuỗi Taylor của hàm $f(x)$ tại $x = a$ là:
A. $sumₙ₌₀⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{f⁽ⁿ⁾(a)}{n!}(x-a)ⁿ$
B. $sumₙ₌₀⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{f⁽ⁿ⁾(0)}{n!}xⁿ$
C. $sumₙ₌₀⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{f(a)⁽ⁿ⁾}{n!}(x-a)ⁿ$
D. $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{f⁽ⁿ⁾(a)}{n!}(x-a)ⁿ$
5. Điều kiện để chuỗi số dương $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ aₙ$ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn là:
A. $limₙ ₜₒ ₊ᵢₙfₜy frac{aₙ}{bₙ} = c$ với $0 < c < +infty$ và $sum bₙ$ hội tụ
B. $limₙ ₜₒ ₊ᵢₙfₜy frac{aₙ}{bₙ} = 0$ và $sum bₙ$ hội tụ
C. $limₙ ₜₒ ₊ᵢₙfₜy frac{aₙ}{bₙ} = +infty$ và $sum bₙ$ hội tụ
D. $limₙ ₜₒ ₊ᵢₙfₜy frac{aₙ}{bₙ} = c$ với $0 < c < +infty$ và $sum bₙ$ phân kỳ
6. Nghiệm riêng của phương trình $y′ - y = eˣ$ có dạng:
A. $yₚ = Axeˣ$
B. $yₚ = Aeˣ$
C. $yₚ = Ax$
D. $yₚ = A$
7. Tích phân $int₀ᵖⁱ∕² sin²(x) cos(x) dx$ bằng:
A. $frac{1}{3}$
B. $frac{2}{3}$
C. 1
D. $frac{1}{2}$
8. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. $ointC Pdx + Qdy = iintD (frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y}) dA$
B. $ointC Pdx + Qdy = iintD (frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y}) dA$
C. $iintₛ mathbf{F} cdot dmathbf{S} = iiintᵥ
abla cdot mathbf{F} dV$
D. $iintₛ (
abla imes mathbf{F}) cdot dmathbf{S} = ointC mathbf{F} cdot dmathbf{r}$
9. Chuỗi số $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{1}{n^alpha}$ hội tụ khi và chỉ khi:
A. $alpha > 1$
B. $alpha geq 1$
C. $alpha < 1$
D. $alpha leq 1$
10. Tính đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial x}$ của hàm số $f(x, y) = x³y² + eˣʸ$.
A. $3x²y² + yeˣʸ$
B. $2x³y + xeˣʸ$
C. $3x²y² + eˣʸ$
D. $3x²y² + y²eˣʸ$
11. Chuỗi số nào sau đây phân kỳ?
A. $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{1}{n²}$
B. $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{1}{2ⁿ}$
C. $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{n}{n+1}$
D. $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{(-1)ⁿ}{n²}$
12. Phương trình $y′' + 4y = 0$ có nghiệm tổng quát dạng:
A. $y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)$
B. $y = C₁ₑ²ˣ + C₂ₑ⁻²ˣ$
C. $y = (C₁ + C₂ₓ)cos(2x)$
D. $y = (C₁ + C₂ₓ)sin(2x)$
13. Cho trường vectơ $mathbf{F} = (x, y)$. Tính div $mathbf{F}$.
A. 2
B. $x + y$
C. $xy$
D. 0
14. Tính tích phân $int frac{dx}{x² - 1}$.
A. $frac{1}{2} ln|frac{x-1}{x+1}| + C$
B. $frac{1}{2} ln|frac{x+1}{x-1}| + C$
C. $ln|x² - 1| + C$
D. $arctan(x) + C$
15. Hàm số $f(x, y)$ đạt cực trị địa phương tại $(x₀, y₀)$ thì:
A. $
abla f(x₀, y₀) = mathbf{0}$
B. $
abla f(x₀, y₀)
eq mathbf{0}$
C. $fₓₓ(x₀, y₀) > 0$ và $fyy(x₀, y₀) > 0$
D. $fₓₓ(x₀, y₀) < 0$ và $fyy(x₀, y₀) < 0$
16. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. $y′ + x²y = sin(x)$
B. $y′' + (y′)² + y = 0$
C. $yy′ + x = 1$
D. $y′ = sqrt{y} + x$
17. Tích phân đường $intC (x + y) ds$ với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) bằng:
A. $sqrt{2}$
B. 2
C. $frac{sqrt{2}}{2}$
D. 1
18. Phương trình vi phân $y′' + 2y′ + y = 0$ có nghiệm riêng dạng:
A. $y = (C₁ + C₂ₓ)e⁻ˣ$
B. $y = C₁ₑ⁻ˣ + C₂ₑˣ$
C. $y = C₁cos(x) + C₂sin(x)$
D. $y = C₁ₑ⁻ˣ + C₂ₓₑ⁻²ˣ$
19. Chuỗi lũy thừa $sumₙ₌₀⁺ⁱⁿᶠᵗʸ cₙ(x-a)ⁿ$ hội tụ tại $x = b$ thì:
A. Hội tụ tuyệt đối với mọi $x$ thỏa mãn $|x-a| < |b-a|$
B. Hội tụ với mọi $x$ thỏa mãn $|x-a| < |b-a|$
C. Phân kỳ với mọi $x$ thỏa mãn $|x-a| > |b-a|$
D. Phân kỳ với mọi $x
eq b$
20. Công thức Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân khối
C. Tích phân đường và tích phân khối
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
21. Tích phân đường loại 2 $intC Pdx + Qdy$ phụ thuộc vào:
A. Đường cong C
B. Điểm đầu và điểm cuối của C
C. Hàm P và Q
D. Tất cả các yếu tố trên
22. Tính tích phân bội hai $iintD xy dA$ với $D = [0, 1] imes [0, 2]$.
A. 1
B. 2
C. $frac{1}{2}$
D. $frac{3}{2}$
23. Đạo hàm của hàm ẩn y theo x, biết $x² + y² = 25$, là:
A. $-frac{x}{y}$
B. $frac{x}{y}$
C. $frac{y}{x}$
D. $-frac{y}{x}$
24. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi miền giới hạn bởi $y = x²$, $y = 0$, $x = 1$ khi quay quanh trục Ox là:
A. $frac{pi}{5}$
B. $frac{pi}{3}$
C. $pi$
D. $frac{2pi}{5}$
25. Tính tích phân suy rộng $int₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{1}{x²} dx$.
A. 1
B. $frac{1}{2}$
C. $infty$
D. 0
26. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y′ = 2x$ là:
A. $y = x² + C$
B. $y = 2x² + C$
C. $y = 2 + C$
D. $y = frac{x²}{2} + C$
27. Tích phân $int frac{1}{xln(x)} dx$ bằng:
A. $ln|ln(x)| + C$
B. $frac{1}{ln(x)²} + C$
C. $-frac{1}{ln(x)} + C$
D. $ln|x|ln|ln(x)| + C$
28. Tích phân mặt $iintₛ dS$ tính:
A. Diện tích mặt S
B. Thể tích khối giới hạn bởi S
C. Thông lượng trường vectơ qua S
D. Độ dài đường cong trên S
29. Chuỗi số $sumₙ₌₁⁺ⁱⁿᶠᵗʸ frac{(-1)ⁿ}{n}$ là chuỗi:
A. Bán hội tụ
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
30. Cho hàm số $f(x, y) = x² + y²$. Vectơ gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. $(2, 4)$
B. $(1, 2)$
C. $(4, 2)$
D. $(2, 2)$
