1. Cho miền D được giới hạn bởi y = x² và y = x. Tích phân kép ∫∫_D x dA bằng:
A. 1∕12
B. 1∕24
C. 1∕30
D. 1∕6
2. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y, z) = xeʸᶻ theo biến y tại điểm (1, 0, 1) là:
3. Trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi từ (ρ, θ, φ) sang (x, y, z) là:
A. ρ² sinφ
B. ρ sinφ
C. ρ²
D. ρ
4. Trong hệ tọa độ trụ, phương trình z = r² mô tả mặt nào sau đây?
A. Mặt nón
B. Mặt paraboloid
C. Mặt cầu
D. Mặt trụ
5. Tính phân kỳ (divergence) của trường vector F = là:
A. 2xz - x + 2yz
B. 2x + y + 2z
C. 2xz + y + 2yz
D. 2x - x + 2z
6. Cho trường vector F = = ←y, x> và đường cong C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ. Tính ∫_C F · dr.
7. Phương trình tiếp tuyến với đường cong r(t) = tại điểm t = 1 là:
A. r(u) = <1 + 2u, 1 + 3u, 0 - u>
B. r(u) = <1 + u, 1 + u, 0 - u>
C. r(u) = <2u, 3u, -u>
D. r(u) = <1 + 2u, 1 + 3u, 0 + u>
8. Trong các khẳng định sau về trường vector bảo toàn, khẳng định nào SAI?
A. Công của trường vector bảo toàn dọc theo đường cong kín luôn bằng 0.
B. Trường vector bảo toàn là gradient của một hàm vô hướng nào đó.
C. Tích phân đường của trường vector bảo toàn chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
D. Curl của trường vector bảo toàn luôn khác vector 0.
9. Đổi thứ tự tích phân trong ∫_0¹ ∫_0ˣ f(x, y) dy dx ta được:
A. ∫_0¹ ∫_y¹ f(x, y) dx dy
B. ∫_0ˣ ∫_0¹ f(x, y) dx dy
C. ∫_0¹ ∫_0ʸ f(x, y) dx dy
D. ∫_0¹ ∫_0¹⁻ʸ f(x, y) dx dy
10. Giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = x² + y² - 2x trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 4} là:
11. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = xy dọc theo đường cong C tham số hóa bởi r(t) = , 0 ≤ t ≤ π∕2 là:
A. 1∕8
B. 1∕4
C. 1∕2
D. 1
12. Trong không gian ba chiều, phương trình nào sau đây mô tả một mặt phẳng song song với mặt phẳng xy và đi qua điểm (0, 0, 5)?
A. z = 0
B. z = 5
C. x + y = 5
D. x = 0
13. Diện tích mặt S là phần mặt paraboloid z = x² + y² nằm dưới mặt phẳng z = 1 là:
A. π∕6 (5√5 - 1)
B. π∕3 (5√5 - 1)
C. π∕6 (5√5 + 1)
D. π∕3 (5√5 + 1)
14. Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x² + y² với ràng buộc g(x, y) = x + y - 2 = 0, sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.
A. Cực tiểu tại (1, 1)
B. Cực đại tại (1, 1)
C. Không có cực trị
D. Cực tiểu tại (0, 2)
15. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS, với F = và S là mặt cầu x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài, bằng:
16. Gradient của hàm số f(x, y, z) = x²y + yz² tại điểm (1, 2, 1) là:
A. <4, 2, 4>
B. <2, 2, 4>
C. <4, 1, 4>
D. <2, 1, 2>
17. Đường cong C tham số hóa bởi r(t) = , 1 ≤ t ≤ e. Độ dài cung của đường cong C là:
A. e² + 1
B. e² - 1
C. (e² + 1)∕2
D. (e² - 1)∕2
18. Cho hàm số f(x, y) = x² - y². Điểm (0, 0) là điểm:
A. Cực đại địa phương
B. Cực tiểu địa phương
C. Yên ngựa
D. Không phải điểm dừng
19. Hàm số f(x, y) = ln(x² + y²) có miền xác định là:
A. {(x, y) | x² + y² > 0}
B. {(x, y) | x² + y² ≥ 0}
C. {(x, y) | x² + y² < 0}
D. {(x, y) | x² + y² ≤ 0}
20. Cho hàm f(x, y) = xy∕(x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm f có liên tục tại (0, 0) không?
A. Liên tục
B. Không liên tục
C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y
D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x
21. Điều kiện để trường vector F = là trường vector bảo toàn trên miền đơn liên là:
A. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
B. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
C. ∂P∕∂x = -∂Q∕∂y
D. ∂P∕∂y = -∂Q∕∂x
22. Cho trường vector F = . Tính curl F.
A. <0, 0, 0>
B. <1, 1, 1>
C.
D.
23. Cho đường cong C là giao tuyến của mặt x² + y² + z² = 9 và mặt z = 2. Tham số hóa đường cong C là:
A. r(t) = <3cos(t), 3sin(t), 2>
B. r(t) = <√5cos(t), √5sin(t), 2>
C. r(t) = <2cos(t), 2sin(t), 2>
D. r(t) =
24. Tích phân bội ba ∫∫∫_E dV, với E là hình hộp chữ nhật [0, 1] × [0, 2] × [0, 3], bằng:
25. Trong tọa độ trụ, tích phân ∫∫∫_E f(x, y, z) dV được viết là:
A. ∫∫∫ f(r cosθ, r sinθ, z) r dz dr dθ
B. ∫∫∫ f(r cosθ, r sinθ, z) r² sinφ dz dr dθ
C. ∫∫∫ f(r, θ, z) r dz dr dθ
D. ∫∫∫ f(r cosθ, r sinθ, z) dz dr dθ
26. Công thức Green liên hệ tích phân đường dọc theo đường cong kín C và tích phân kép trên miền D được bao bởi C như thế nào?
A. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y) dA
C. ∫_C P dx - Q dy = ∫∫_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
D. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P∕∂y - ∂Q∕∂x) dA
27. Tích phân ∫_0^∞ e⁻ˣ^² dx bằng:
A. √π
B. π
C. √π∕2
D. √π∕2
28. Trong hệ tọa độ cầu, góc φ được đo từ trục nào?
A. Trục x
B. Trục y
C. Trục z dương
D. Mặt phẳng xy
29. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
30. Tích phân đường ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1), bằng:
A. √2
B. 2√2
C. 3√2∕2
D. √2∕2
