1. Cho trường vectơ F(x, y, z) = <2x, 2y, 2z>. Tính div F.
2. Tích phân ∫∫_R (x + y) dA trên miền R = [0, 1] x [0, 2] bằng bao nhiêu?
3. Cho hàm f(x, y) = eˣʸ. Tìm đạo hàm riêng cấp hai ∂²f∕∂x∂y.
A. eˣʸ
B. y eˣʸ
C. (1 + xy) eˣʸ
D. (x + y) eˣʸ
4. Cho hàm f(x, y, z) = xyz. Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1, 1) theo hướng vectơ v = <1, 1, 1>.
A. √3
B. 3∕√3
C. 1∕√3
D. 3√3
5. Cho trường vectơ F(x, y) = ←y, x>. Tính curl F.
6. Tích phân đường loại hai ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào đường đi C khi nào?
A. Khi ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
B. Khi ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. Khi ∂P∕∂y ≠ ∂Q∕∂x
D. Luôn luôn phụ thuộc đường đi
7. Cho hàm f(x, y) = ln(x² + y²). Tính ∂f∕∂x.
A. 1∕(x² + y²)
B. 2x∕(x² + y²)
C. 2y∕(x² + y²)
D. ln(2x)
8. Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x² + y² - xy - x - y + 1.
A. Không có cực trị
B. Cực tiểu tại (1, 1)
C. Cực đại tại (1, 1)
D. Điểm yên ngựa tại (1, 1)
9. Trong không gian ba chiều, mặt nào sau đây được mô tả bởi phương trình x² + y² - z² = 1?
A. Mặt paraboloid tròn xoay
B. Mặt nón tròn xoay
C. Mặt trụ hyperbolic
D. Mặt hyperboloid một tầng
10. Tính thông lượng của trường vectơ F(x, y, z) = qua mặt cầu đơn vị x² + y² + z² = 1.
A. 0
B. 4π
C. 4π∕3
D. 12π
11. Miền D được giới hạn bởi y = x², y = 1. Tính diện tích miền D.
A. 4∕3
B. 2∕3
C. 1∕3
D. 5∕3
12. Tính tích phân ∫_C y dx + x dy, với C là đường tròn x² + y² = 1, ngược chiều kim đồng hồ.
13. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt của curl F trên mặt S với tích phân nào trên biên C của S?
A. Tích phân mặt khác
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân đường
D. Tích phân bội ba
14. Cho đường cong C tham số hóa bởi r(t) = , 0 ≤ t ≤ 2π. Tính độ dài cung của C.
A. 2π
B. 2π√2
C. 4π
D. 4π√2
15. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân nào trên miền D được bao bởi C?
A. Tích phân mặt
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân đường khác
16. Định lý Divergence liên hệ tích phân mặt của trường vectơ F trên mặt kín S với tích phân nào trên miền E được bao bởi S?
A. Tích phân mặt khác
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân đường
D. Tích phân bội ba
17. Mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = . Vectơ pháp tuyến của mặt S tại điểm (1, 2, 5) là vectơ nào sau đây?
A. ←2, -4, 1>
B. <2, 4, -1>
C. <1, 2, -1>
D. ←1, -2, 1>
18. Trong tọa độ cầu, tích phân ∫∫∫_E f(x, y, z) dV được chuyển thành dạng nào?
A. ∫∫∫ f(ρsin(φ)cos(θ), ρsin(φ)sin(θ), ρcos(φ)) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ
B. ∫∫∫ f(ρsin(φ)cos(θ), ρsin(φ)sin(θ), ρcos(φ)) ρ sin(φ) dρ dθ dφ
C. ∫∫∫ f(ρcos(θ), ρsin(θ), z) r dr dθ dz
D. ∫∫∫ f(r cos(θ), r sin(θ), z) dr dθ dz
19. Cho hàm f(x, y, z) = x² + y² + z². Mặt mức c = 4 của hàm f là mặt nào?
A. Mặt phẳng
B. Mặt trụ
C. Mặt cầu
D. Mặt nón
20. Trong tọa độ cầu, yếu tố diện tích bề mặt trên mặt cầu bán kính R là gì?
A. R² sin(φ) dθ dφ
B. R sin(φ) dθ dφ
C. R² dθ dφ
D. sin(φ) dθ dφ
21. Mặt z = x² + y² và mặt z = 2 - x² - y² giao nhau tại đường cong nào?
A. Đường tròn x² + y² = 1, z = 1
B. Đường tròn x² + y² = 2, z = 2
C. Đường elip
D. Hai đường thẳng
22. Tính tích phân đường ∫_C (x + y) ds, trong đó C là đoạn thẳng từ (0,0) đến (1,1).
A. √2
B. 2√2
C. 3√2∕2
D. √2∕2
23. Tính thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy R và chiều cao H.
A. πR²H
B. 2πR²H
C. (1∕3)πR²H
D. (2∕3)πR²H
24. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_E z dV, với E là khối hộp chữ nhật [0, 1] x [0, 2] x [0, 3].
25. Cho hàm f(x, y) = x² + y³. Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).
A. <2, 12>
B. <1, 8>
C. <2, 8>
D. <1, 12>
26. Hàm số f(x, y) = x² + y² có điểm dừng tại điểm nào?
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (0, 0)
27. Mặt nào sau đây không phải là mặt bậc hai?
A. x² + y² + z² = 1
B. xy + z = 1
C. x + y + z = 1
D. x² + y² - z² = 1
28. Cho trường vectơ F(x, y, z) = . Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để F là trường vectơ bảo toàn?
A. div F = 0
B. curl F = 0
C. ∇f = F
D. Tất cả các đáp án trên
29. Trong tọa độ trụ, yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. r dr dθ dz
B. r² sin(φ) dr dθ dφ
C. dr dθ dz
D. r² dr dθ dz
30. Trong tọa độ trụ, phương trình x² + y² = 4 mô tả mặt nào?
A. Mặt cầu
B. Mặt trụ tròn
C. Mặt nón
D. Mặt phẳng
