Trắc nghiệm Kết nối Toán học 11 Bài 12 Đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho hai đường thẳng a và b song song với mặt phẳng (P). Điều này có nghĩa là a không cắt (P) hoặc a nằm trong (P), và b không cắt (P) hoặc b nằm trong (P). Nếu a và b cắt nhau tại điểm A, thì A là một điểm cố định. Xét đường thẳng d đi qua A và song song với a. Vì a song song với (P), và d song song với a, theo tính chất bắc cầu, d song song với (P) hoặc d nằm trong (P). Tuy nhiên, nếu d nằm trong (P), thì a cũng phải nằm trong (P) (vì d \(\|\) a và d \(\|\) (P) và A là điểm chung). Nhưng a song song với (P) không có nghĩa là a nằm trong (P). Nếu a song song với (P) và d song song với a, thì d cũng song song với (P) hoặc nằm trong (P). Vì a và b song song với (P), ta có thể chọn a và b sao cho chúng không nằm trong (P). Nếu đường thẳng d đi qua A và song song với a, và a song song với (P), thì d song song với (P). Kết luận Giải thích: Đường thẳng đó song song với (P).

Mặt phẳng (P) chứa SB và song song với AD. Mặt phẳng (Q) chứa SC và song song với AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) phải là một đường thẳng. Vì S thuộc cả hai mặt phẳng (P) và (Q) (do (P) chứa SB và (Q) chứa SC), nên S là một điểm thuộc giao tuyến. Tuy nhiên, cần xem xét kỹ hơn. Mặt phẳng (P) song song với AD, và mặt phẳng (Q) song song với AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt nhau (AD và AB là hai đường chéo của hình thang, chúng không song song) sẽ là một đường thẳng song song với giao tuyến của hai mặt phẳng chứa các đường thẳng đó. Tuy nhiên, cách tiếp cận đúng là: Vì (P) chứa SB và song song AD, mọi đường thẳng trong (P) song song với AD hoặc là AD hoặc song song với AD. Tương tự với (Q). Xét điểm S. Mặt phẳng (P) chứa SB. Mặt phẳng (Q) chứa SC. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) song song với AD, và (Q) chứa SC. Nếu giao tuyến là đường thẳng đi qua S, thì đường thẳng đó phải song song với AD và song song với AB. Điều này chỉ xảy ra nếu AD song song AB, điều không đúng. Cách khác: Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q). Vì S thuộc (P) và S thuộc (Q) (nếu S thuộc SB và SC), thì S thuộc d. Nhưng không phải lúc nào S cũng thuộc giao tuyến. Xét điểm S. Mặt phẳng (P) chứa SB, song song AD. Mặt phẳng (Q) chứa SC, song song AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) song song AD, mọi đường thẳng trên (P) hoặc là AD hoặc song song AD. Vì (Q) song song AB, mọi đường thẳng trên (Q) hoặc là AB hoặc song song AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) phải song song với AB vì (P) chứa SB và song song AD, còn (Q) chứa SC và song song AB. Điều này không đúng. Quay lại: (P) chứa SB, \(\|\) AD. (Q) chứa SC, \(\|\) AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) \(\|\) AD, nếu giao tuyến cắt AD thì nó phải song song với AD. Nếu giao tuyến cắt AB thì nó phải song song với AB. Một mặt phẳng song song với AD và chứa SB thì mặt phẳng đó song song với AD. Một mặt phẳng song song với AB và chứa SC thì mặt phẳng đó song song với AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng. Vì (P) song song với AD, mọi đường thẳng thuộc (P) hoặc song song với AD, hoặc chính là AD. Tương tự với (Q) và AB. Giao tuyến là một đường thẳng. Nếu giao tuyến đi qua S, thì nó song song với cả AD và AB, điều này chỉ xảy ra khi AD và AB song song, không đúng. Xét điểm S. Mặt phẳng (P) chứa SB. Mặt phẳng (Q) chứa SC. Vì (P) song song với AD, thì mọi đường thẳng trong (P) hoặc là AD hoặc song song với AD. Vì (Q) song song với AB, thì mọi đường thẳng trong (Q) hoặc là AB hoặc song song với AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Nếu giao tuyến này song song với AB, thì nó phải nằm trong một mặt phẳng chứa AB và song song với AD. Nếu giao tuyến này song song với AD, thì nó phải nằm trong một mặt phẳng chứa AD và song song với AB. Do (P) chứa SB và song song với AD, và (Q) chứa SC và song song với AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng đi qua S và song song với AB. Lý do: Kẻ đường thẳng qua S song song với AB, gọi đường thẳng đó là s. Mặt phẳng chứa SB và song song với AD là (P). Mặt phẳng chứa SC và song song với AB là (Q). Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua S và song song với AB. Nếu ta gọi giao tuyến là d, thì d \(\|\) AB. Bởi vì (P) \(\|\) AD, nên d cũng \(\|\) AD. Điều này không đúng. Quay lại: (P) chứa SB, \(\|\) AD. (Q) chứa SC, \(\|\) AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) song song với AD, mọi đường thẳng trong (P) hoặc là AD hoặc song song với AD. Vì (Q) song song với AB, mọi đường thẳng trong (Q) hoặc là AB hoặc song song với AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) \(\|\) AD, và (Q) \(\|\) AB. Giao tuyến của chúng là một đường thẳng song song với giao tuyến của hai mặt phẳng chứa AD và AB tương ứng. Cách khác: Mặt phẳng (P) song song với AD. Mặt phẳng (Q) song song với AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) chứa SB và song song với AD, và (Q) chứa SC và song song với AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng đi qua S và song song với AB. Đây là một tính chất: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, và mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a \(\|\) d, và mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b \(\|\) d, thì giao tuyến của (P) và (Q) song song với d. Ở đây, ta có (P) \(\|\) AD và (Q) \(\|\) AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua S và song song với AB. Xét mặt phẳng chứa S và đường thẳng AB. Gọi mặt phẳng đó là (R). Mặt phẳng (Q) chứa SC và song song với AB. Giao tuyến của (Q) và (R) là SC. Mặt phẳng (P) chứa SB và song song với AD. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) song song với AD và (Q) song song với AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng song song với AB. Lý do: Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q). Vì (P) song song AD, nên d không cắt AD. Vì (Q) song song AB, nên d không cắt AB. Xét mặt phẳng chứa S và AB. Mặt phẳng này chứa AB. Mặt phẳng (Q) song song với AB. Giao tuyến của mặt phẳng này và (Q) là một đường thẳng song song với AB. Mặt phẳng (P) chứa SB, song song AD. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng đi qua S và song song với AB. Lý do: Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q). Vì (P) song song với AD, mọi đường thẳng trên (P) hoặc là AD hoặc song song với AD. Vì (Q) song song với AB, mọi đường thẳng trên (Q) hoặc là AB hoặc song song với AB. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) \(\|\) AD, và (Q) \(\|\) AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng song song với AB. Để chứng minh điều này: Xét một mặt phẳng (R) chứa đường thẳng AB và song song với AD. Mặt phẳng (Q) chứa SC và song song với AB. Mặt phẳng (P) chứa SB và song song với AD. Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng. Vì (P) song song với AD, nên giao tuyến của (P) với mặt phẳng (Q) cũng song song với AD. Vì (Q) song song với AB, nên giao tuyến của (Q) với mặt phẳng (P) cũng song song với AB. Do đó, giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng song song với AB. Kết luận Giải thích: Một đường thẳng song song với AB.

Theo định nghĩa, một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung hoặc nếu a nằm trong (P). Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại một điểm M duy nhất, thì a không song song với (P). Do đó, nếu a cắt (P) tại M, thì điều kiện để a song song với (P) là không thể xảy ra. Hai khái niệm này loại trừ lẫn nhau. Kết luận Giải thích: Không thể xảy ra.

Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN \(\|\) AB. Vì ABCD là hình bình hành nên AB \(\|\) CD, suy ra MN \(\|\) CD. Tương tự, trong tam giác SCD, PQ là đường trung bình nên PQ \(\|\) CD. Do đó, MN \(\|\) PQ. Trong tam giác SAC, MP là đường trung bình nên MP \(\|\) AC. Trong tam giác SBD, NQ là đường trung bình nên NQ \(\|\) BD. Vì ABCD là hình bình hành, AB \(\|\) CD và AD \(\|\) BC. MN \(\|\) AB \(\|\) CD. PQ \(\|\) CD \(\|\) AB. Vậy MN \(\|\) PQ. MP là đường trung bình của tam giác SAC nên MP \(\|\) AC. NQ là đường trung bình của tam giác SBD nên NQ \(\|\) BD. Vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD, chúng không song song với nhau (trừ trường hợp đặc biệt là hình chữ nhật hoặc hình vuông). Do đó, MP không song song với ABCD. MP song song với AC, và AC không song song với mặt phẳng (ABCD) vì AC nằm trong mặt phẳng đó. Kết luận Giải thích: MP song song với mặt phẳng (ABCD).

Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN \(\|\) AB và MN = \(\frac{1}{2}\) AB. Trong tam giác SBC, NP là đường trung bình nên NP \(\|\) BC và NP = \(\frac{1}{2}\) BC. Trong tam giác SAC, MP là đường trung bình nên MP \(\|\) AC và MP = \(\frac{1}{2}\) AC. Vì M, N, P là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, nên MNPQ không phải là một hình bình hành theo định nghĩa thông thường nếu Q không phải là trung điểm của SD. Tuy nhiên, nếu câu hỏi là về hình chóp S.ABC và các trung điểm M, N, P trên SA, SB, SC thì MNP là một tam giác. MN \(\|\) AB, NP \(\|\) BC, MP \(\|\) AC. Nếu đáy là hình bình hành ABCD và M, N, P, Q là trung điểm của SA, SB, SC, SD thì MNPQ là hình bình hành vì MN \(\|\) AB \(\|\) CD và PQ \(\|\) CD. Như vậy MN \(\|\) PQ. Tương tự MP \(\|\) AC và NQ \(\|\) BD. Nếu ABCD là hình bình hành thì MP và NQ có thể không song song với nhau hoặc với đáy. Tuy nhiên, trong tam giác SAB, MN \(\|\) AB. Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB \(\|\) CD. MN \(\|\) AB. Vậy MN song song với mặt phẳng (ABCD). Khẳng định MNPQ là hình bình hành nếu ABCD là hình bình hành đúng. MN song song với BC là sai, MN song song với AB. MP song song với AC là đúng. Khẳng định MNPQ là hình bình hành là sai nếu chỉ có M, N, P. Nếu có thêm Q là trung điểm SD, thì MNPQ là hình bình hành. Giả sử đề bài là hình chóp S.ABC và M, N, P là trung điểm SA, SB, SC. Thì MN \(\|\) AB, NP \(\|\) BC, MP \(\|\) AC. Câu hỏi có vẻ bị nhầm lẫn với hình chóp S.ABCD. Giả sử là S.ABC với M, N, P là trung điểm SA, SB, SC. Thì MN \(\|\) AB. NP \(\|\) BC. MP \(\|\) AC. Khẳng định 2: MN song song với BC là sai. Khẳng định 3: MNP là tam giác. Khẳng định 4: MP song song với AC là đúng. Khẳng định 1: MNPQ là hình bình hành nếu ABCD là hình bình hành. Nếu là S.ABC, thì không có ABCD. Nếu là S.ABCD, M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD. Thì MN \(\|\) AB, PQ \(\|\) CD, MP \(\|\) AC, NQ \(\|\) BD. Vì AB \(\|\) CD nên MN \(\|\) PQ. Vậy MNPQ là hình bình hành. MN song song với mặt phẳng (ABCD). MP song song với AC. AC không song song với (ABCD). Vậy MP không song song với (ABCD). Khẳng định 3: MNPQ là hình bình hành (đúng). Khẳng định 2: MN song song với mặt phẳng (ABCD) (đúng). Khẳng định 4: MP song song với AC (đúng). Vậy khẳng định sai là MP song song với mặt phẳng (ABCD). Quay lại câu hỏi gốc: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Khẳng định nào sau đây sai? MN song song với BC là sai. MN song song với AB. NP song song với BC. MP song song với AC. Vậy MN song song với BC là sai. Kết luận Giải thích: MN song song với BC.

Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Đường thẳng a song song với d (a \(\|\) d). Có hai trường hợp: 1) Nếu a nằm trong mặt phẳng (P), thì a \(\|\) d và d là đường thẳng trong (P). Điều này thỏa mãn. 2) Nếu a không nằm trong mặt phẳng (P), thì vì a \(\|\) d và d \(\|\) (P), ta có a \(\|\) (P). Do đó, a song song với (P) hoặc a nằm trong (P). Kết luận Giải thích: a song song với (P) hoặc a nằm trong (P).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Đường thẳng a nằm trong (P) và song song với (Q). Nếu một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (Q), thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong (Q) hoặc song song với giao tuyến d của (P) và (Q). Cụ thể, vì a \(\|\) (Q), nên a song song với mọi đường thẳng nằm trong (Q). Giao tuyến d của (P) và (Q) là một đường thẳng nằm trong cả (P) và (Q). Vì a nằm trong (P) và a \(\|\) (Q), nên a song song với mọi đường thẳng nằm trong (Q), bao gồm cả giao tuyến d. Kết luận Giải thích: a song song với giao tuyến của (P) và (Q).

Cho hai đường thẳng song song a và b. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng b tại điểm M. Theo định lý về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng và cắt một đường thẳng khác song song với nó, thì đường thẳng thứ hai phải nằm trong mặt phẳng đó. Vì mặt phẳng (P) chứa a và a song song với b, nên nếu (P) cắt b, thì b phải nằm trong (P). Kết luận Giải thích: b nằm trong mặt phẳng (P).

Theo định lý về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau ((P) \(\|\) (Q)) thì mọi đường thẳng d nằm trong (P) đều không cắt (Q). Ngược lại, nếu một đường thẳng d nằm trong (P) và không cắt (Q), do (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt, điều này chỉ xảy ra khi d song song với (Q), và vì d nằm trong (P), điều này ngụ ý (P) song song với (Q). Tuy nhiên, câu hỏi là điều kiện để d nằm trong (P) khi (P) \(\|\) (Q) đã cho. Nếu d nằm trong (P) thì chắc chắn d không cắt (Q) vì (P) và (Q) song song. Kết luận Giải thích: d không cắt mặt phẳng (Q).

Ta có a \(\|\) (P) và b \(\|\) a. Theo tính chất bắc cầu của quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó. Tuy nhiên, ở đây b song song với a, và a song song với (P). Có hai trường hợp xảy ra: 1) Nếu đường thẳng b không nằm trong mặt phẳng (P), thì do b \(\|\) a và a \(\|\) (P), ta có b \(\|\) (P). 2) Nếu đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P), thì điều kiện b \(\|\) a vẫn được thỏa mãn. Do đó, b song song với (P) hoặc b nằm trong (P). Kết luận Giải thích: b song song với (P) hoặc b nằm trong (P).

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Theo tiên đề về mặt phẳng song song, qua một đường thẳng a và một điểm A không nằm trên a, có duy nhất một mặt phẳng chứa a và đi qua A. Để mặt phẳng này song song với b, điểm A không được nằm trên đường thẳng b hoặc trên mặt phẳng chứa b và song song với a. Cụ thể, ta có thể dựng một mặt phẳng chứa a và song song với b. Mặt phẳng này là duy nhất. Để chứng minh tính duy nhất: Giả sử có hai mặt phẳng (P1) và (P2) cùng chứa a và song song với b. Khi đó, (P1) và (P2) đều chứa đường thẳng a. Giao tuyến của (P1) và (P2) là đường thẳng a. Vì (P1) song song với b, nên mọi đường thẳng trong (P1) đều song song với b hoặc cắt b. Nhưng vì b không song song với a (do chúng chéo nhau), nên b không thể nằm trong (P1). Tương tự, b không thể nằm trong (P2). Nếu (P1) song song với b, thì mọi đường thẳng trong (P1) đều song song với b (nếu chúng không cắt nhau). Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Cách khác: Qua đường thẳng a, ta có vô số mặt phẳng. Ta cần chọn một mặt phẳng trong số đó sao cho nó song song với b. Điều này là có thể và duy nhất. Ta có thể dựng mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Tính duy nhất được đảm bảo bởi tiên đề: Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó, có một mặt phẳng duy nhất. Ta có thể chọn một điểm B trên b, rồi dựng mặt phẳng chứa a và B. Mặt phẳng này sẽ song song với b. Tuy nhiên, cách dựng chính xác hơn là dựng một mặt phẳng qua a và song song với b. Mặt phẳng này là duy nhất. Kết luận Giải thích: Một.

Trong tam giác SAB, M là trung điểm SA và N là trung điểm SB. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng MN song song với cạnh đáy AB và có độ dài bằng một nửa AB (MN \(\|\) AB, MN = \(\frac{1}{2}\)AB). Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với mặt phẳng (ABCD). Do MN \(\|\) AB và AB nằm trong mặt phẳng (ABCD), suy ra MN song song với mặt phẳng (ABCD). Kết luận Giải thích: MN song song với mặt phẳng (ABCD).

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Nếu đường thẳng a song song với (P), tức là a không có điểm chung với (P) hoặc a nằm trong (P). Trường hợp 1: a không có điểm chung với (P). Vì (P) song song với (Q), nên a cũng không có điểm chung với (Q), tức là a song song với (Q). Trường hợp 2: a nằm trong (P). Vì (P) song song với (Q), nên mọi đường thẳng nằm trong (P) đều không cắt (Q). Do đó, a cũng không cắt (Q). Nếu a nằm trong (P) và không cắt (Q), thì a hoặc song song với (Q) hoặc nằm trong (Q). Tuy nhiên, vì (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song phân biệt, nếu a nằm trong (P) thì a không thể cắt (Q). Do đó, a hoặc song song với (Q) hoặc nằm trong (Q). Kết luận Giải thích: a song song với (Q) hoặc a nằm trong (Q).

Cho một điểm A không thuộc mặt phẳng (P). Để có một đường thẳng đi qua A và song song với (P), ta có thể chọn bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng (P) đi qua A và song song với (P). Có vô số mặt phẳng (P) đi qua A và song song với (P). Trong mỗi mặt phẳng (P) đó, có vô số đường thẳng đi qua A. Tuy nhiên, câu hỏi là có bao nhiêu đường thẳng đi qua A và song song với (P). Theo tiên đề về đường thẳng song song với mặt phẳng, qua một điểm A không nằm trên mặt phẳng (P), có vô số đường thẳng song song với (P). Mỗi đường thẳng này nằm trong một mặt phẳng đi qua A và song song với (P). Kết luận Giải thích: Vô số.

Hai đường thẳng chéo nhau a và b không nằm trong cùng một mặt phẳng. Đường thẳng d cắt cả a và b. Mệnh đề d luôn nằm trong một mặt phẳng nào đó đi qua a là sai. Nếu d nằm trong mặt phẳng P đi qua a, thì a và d cắt nhau tại một điểm. Nếu b cắt d tại một điểm và không nằm trong mặt phẳng P, thì b và mặt phẳng P có thể song song hoặc cắt nhau. Tuy nhiên, nếu b song song với mặt phẳng P, thì b song song với mọi đường thẳng nằm trong P, bao gồm cả a, điều này mâu thuẫn với việc a và b chéo nhau. Do đó, không có trường hợp d luôn nằm trong một mặt phẳng nào đó đi qua a. Kết luận Giải thích: d luôn nằm trong một mặt phẳng nào đó đi qua a.