1. Không gian hàng (row space) của ma trận A, ký hiệu Row(A), là gì?
A. Không gian nghiệm của A.
B. Không gian cột của A^T.
C. Không gian cột của A.
D. Không gian nghiệm của A^T.
2. Trong không gian vector R^3, cho hai vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích có hướng (vector cross product) của u và v, u x v, là vector nào sau đây?
A. (-3, 6, -3)
B. (3, -6, 3)
C. (3, 6, 3)
D. (-3, -6, -3)
3. Không gian cột (column space) của ma trận A, ký hiệu Col(A), là gì?
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
B. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ Ax = 0.
C. Tập hợp tất cả các vector hàng của A.
D. Tập hợp các vector vuông góc với không gian nghiệm của A.
4. Cho phép biến đổi tuyến tính T: R^2 → R^2 được biểu diễn bởi ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Phép biến đổi này có tính chất nào sau đây?
A. Phản xạ qua trục x.
B. Phản xạ qua trục y.
C. Co giãn đều theo mọi hướng.
D. Xoay một góc cố định.
5. Ứng dụng nào sau đây không phải là ứng dụng của đại số tuyến tính?
A. Giải hệ phương trình tuyến tính trong kỹ thuật và khoa học máy tính.
B. Phân tích dữ liệu và khai phá dữ liệu (data mining) thông qua phân tích thành phần chính (PCA).
C. Mô hình hóa các hệ thống kinh tế vĩ mô phức tạp.
D. Chứng minh định lý Fermat lớn.
6. Trong không gian vector R^2, phép chiếu vuông góc (orthogonal projection) của vector v lên vector u khác vector không là gì?
A. Một vector vuông góc với u.
B. Một vector song song với u.
C. Một số vô hướng.
D. Một ma trận.
7. Cho ma trận A vuông cấp n. Tổng các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng đại lượng nào của ma trận?
A. Định thức của A.
B. Vết (trace) của A.
C. Hạng (rank) của A.
D. Số chiều của không gian nghiệm của A.
8. Phép biến đổi tọa độ (change of basis) trong không gian vector được thực hiện thông qua loại ma trận nào?
A. Ma trận đường chéo.
B. Ma trận tam giác.
C. Ma trận chuyển cơ sở (change of basis matrix).
D. Ma trận trực giao.
9. Ma trận trực giao (orthogonal matrix) là ma trận vuông A có tính chất gì?
A. A^T = A
B. A^T = -A
C. A^T = A^(-1)
D. det(A) = 0
10. Phân tích QR (QR decomposition) của một ma trận A kích thước m x n (m ≥ n) là phân tích A thành tích của hai ma trận nào?
A. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
B. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P.
C. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A.
11. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là det(A^T), có mối quan hệ như thế nào với định thức của ma trận A, det(A)?
A. det(A^T) = -det(A)
B. det(A^T) = 1/det(A)
C. det(A^T) = det(A)
D. det(A^T) = [det(A)]^2
12. Không gian vector con (vector subspace) của một không gian vector V phải thỏa mãn những điều kiện nào sau đây?
A. Đóng với phép cộng vector.
B. Đóng với phép nhân với một số vô hướng.
C. Chứa vector không.
D. Cả 3 điều kiện trên.
13. Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch (invertible matrix)?
A. Ma trận có định thức bằng 0.
B. Ma trận vuông có các cột phụ thuộc tuyến tính.
C. Ma trận vuông có các hàng độc lập tuyến tính.
D. Ma trận không vuông.
14. Hạng (rank) của một ma trận A kích thước m x n thể hiện điều gì?
A. Số chiều của không gian cột (column space) của A.
B. Số chiều của không gian hàng (row space) của A.
C. Số chiều của không gian nghiệm (null space) của A.
D. Cả phương án 1 và 2.
15. Quy trình Gram-Schmidt được sử dụng để làm gì?
A. Tìm định thức của ma trận.
B. Giải hệ phương trình tuyến tính.
C. Biến đổi một cơ sở bất kỳ thành cơ sở trực giao (orthogonal basis).
D. Tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận.
16. Cho ma trận A và vector riêng v tương ứng với giá trị riêng λ. Điều gì xảy ra với vector Av?
A. Av là vector không.
B. Av là một vector vuông góc với v.
C. Av là một vector cùng phương với v và có độ dài thay đổi λ lần.
D. Av là một vector cùng phương với v và có độ dài không đổi.
17. Sai số số học (numerical error) thường phát sinh trong các tính toán đại số tuyến tính trên máy tính vì lý do chính nào?
A. Sử dụng thuật toán không hiệu quả.
B. Giới hạn độ chính xác của biểu diễn số thực dấu phẩy động (floating-point representation).
C. Lỗi lập trình.
D. Do máy tính bị virus.
18. Trong không gian tích trong, hai vector u và v được gọi là trực giao (orthogonal) nếu điều kiện nào sau đây được thỏa mãn?
A. ||u|| = ||v||.
B. u · v = 0.
C. u x v = 0.
D. u = cv với một số vô hướng c.
19. Cơ sở (basis) của một không gian vector V là gì?
A. Một tập hợp sinh (spanning set) của V.
B. Một tập hợp độc lập tuyến tính trong V.
C. Một tập hợp vừa sinh vừa độc lập tuyến tính của V.
D. Một tập hợp con của V chứa vector không.
20. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nếu det(A) ≠ 0, hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. Vô số nghiệm.
B. Không có nghiệm.
C. Nghiệm duy nhất.
D. Có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm, tùy thuộc vào b.
21. Cho ma trận A kích thước m x n. Không gian nghiệm (null space) của A, ký hiệu Null(A), là tập hợp các vector x nào?
A. {x ∈ R^n | Ax = 0}
B. {x ∈ R^m | Ax = 0}
C. {b ∈ R^m | Ax = b}
D. {b ∈ R^n | Ax = b}
22. Trong không gian vector R^n, tích vô hướng (dot product) của hai vector u và v được sử dụng để tính đại lượng nào sau đây?
A. Diện tích hình bình hành tạo bởi u và v.
B. Thể tích hình hộp tạo bởi u và v.
C. Góc giữa hai vector u và v.
D. Tích có hướng của u và v.
23. Vector riêng của một phép biến đổi tuyến tính T: V → V là vector nào?
A. Vector bị biến đổi thành vector không bởi T.
B. Vector không bị thay đổi hướng (hoặc ngược hướng) bởi T, chỉ thay đổi độ dài.
C. Vector có độ dài không thay đổi bởi T.
D. Vector biến đổi thành chính nó bởi T.
24. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B, det(AB), bằng gì?
A. det(A) + det(B)
B. det(A) - det(B)
C. det(A) * det(B)
D. det(A) / det(B)
25. Cho ma trận vuông A. Đa thức đặc trưng (characteristic polynomial) của A được xác định như thế nào?
A. det(A - λI), với λ là biến số và I là ma trận đơn vị.
B. det(A + λI).
C. det(λI - A).
D. Cả phương án 1 và 3 đều đúng.
26. Giá trị riêng (eigenvalue) của một ma trận vuông A là gì?
A. Một vector v khác vector không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.
B. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vector v khác vector không thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
27. Phân tích LU (LU decomposition) của một ma trận vuông A là phân tích A thành tích của hai ma trận nào?
A. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P.
B. Ma trận tam giác trên U và ma trận tam giác dưới L.
C. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A.
28. Nếu ma trận vuông A khả nghịch, thì giá trị riêng 0 có thể là giá trị riêng của A không?
A. Có.
B. Không.
C. Chỉ khi A là ma trận đơn vị.
D. Chỉ khi A là ma trận đường chéo.
29. Phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) T: V → W từ không gian vector V sang không gian vector W cần thỏa mãn những tính chất nào?
A. T(u + v) = T(u) + T(v) với mọi u, v ∈ V.
B. T(cu) = cT(u) với mọi u ∈ V và mọi số vô hướng c.
C. T(0_V) = 0_W, trong đó 0_V và 0_W là vector không của V và W.
D. Cả 3 tính chất trên.
30. Đường chéo hóa ma trận (matrix diagonalization) là quá trình biến đổi một ma trận vuông A thành dạng nào?
A. Ma trận đơn vị.
B. Ma trận đường chéo.
C. Ma trận tam giác trên.
D. Ma trận tam giác dưới.
