Đề 11 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Cho ma trận vuông A. Tổng các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng:

A. Định thức của A.

B. Vết (trace) của A.

C. Hạng của A.

D. 0.

2. Trong không gian vectơ R^3, bộ vectơ nào sau đây là cơ sở?

A. {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}

B. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}

C. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

D. {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)}

3. Cho ma trận A vuông. Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. Nếu det(A) ≠ 0 thì A khả nghịch.

B. Nếu A khả nghịch thì hệ Ax = b có nghiệm duy nhất với mọi b.

C. Nếu hệ Ax = 0 có nghiệm không tầm thường thì det(A) = 0.

D. Nếu det(A) = 0 thì A khả nghịch.

4. Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu:

A. A = A^T.

B. A = -A^T.

C. A^T * A = I.

D. det(A) = 0.

5. Cho hai vectơ u và v trong không gian vectơ Euclid. Tích vô hướng của u và v bằng 0 khi và chỉ khi:

A. u và v cùng hướng.

B. u và v vuông góc.

C. u và v ngược hướng.

D. u hoặc v là vectơ không.

6. Hạng của ma trận là:

A. Số hàng của ma trận.

B. Số cột của ma trận.

C. Số chiều của không gian hàng (hoặc không gian cột).

D. Định thức của ma trận.

7. Không gian con sinh bởi một tập hợp các vectơ là:

A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ đó.

B. Tập hợp các vectơ đó.

C. Tập hợp các vectơ vuông góc với các vectơ đó.

D. Tập hợp các vectơ có độ dài bằng 1.

8. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B cùng cấp bằng:

A. det(A) + det(B).

B. det(A) - det(B).

C. det(A) * det(B).

D. det(A) / det(B).

9. Hai không gian con U và W của không gian vectơ V được gọi là bù nhau nếu:

A. U ∩ W = {0} và U + W = V.

B. U ∩ W = V và U + W = {0}.

C. U ⊆ W.

D. W ⊆ U.

10. Ma trận đường chéo hóa được khi và chỉ khi:

A. Nó là ma trận khả nghịch.

B. Nó có đủ số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính bằng cấp của ma trận.

C. Định thức của nó khác 0.

D. Tất cả các giá trị riêng của nó đều phân biệt.

11. Vector nào sau đây là vector riêng của ma trận [[2, 1], [1, 2]]?

A. (1, 1)

B. (1, -1)

C. (1, 0)

D. (0, 1)

12. Quá trình Gram-Schmidt được sử dụng để:

A. Giải hệ phương trình tuyến tính.

B. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng.

C. Trực giao hóa một cơ sở cho trước.

D. Tính định thức của ma trận.

13. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu A^2 = A, thì giá trị riêng của A chỉ có thể là:

A. 0 hoặc 1.

B. 1 hoặc -1.

C. 0 hoặc -1.

D. Bất kỳ số thực nào.

14. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:

A. Định thức của nó bằng 0.

B. Các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính.

C. Các cột của nó độc lập tuyến tính.

D. Nó không có nghiệm duy nhất.

15. Trong không gian tích trong, chuẩn của vectơ x được ký hiệu là ||x|| và được định nghĩa là:

A. √(⟨x, x⟩).

B. ⟨x, x⟩.

C. ⟨x, y⟩ với y khác x.

D. √(⟨x, y⟩) với y khác x.

16. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:

A. det(A) ≠ 0.

B. rank(A) = n.

C. Các cột của A độc lập tuyến tính.

D. det(A) = 0.

17. Cho ánh xạ tuyến tính T: R^n -> R^m có ma trận biểu diễn A. Ảnh của T (im(T)) là:

A. Không gian nghiệm của hệ Ax = 0.

B. Không gian cột của ma trận A.

C. Không gian hàng của ma trận A.

D. Không gian vectơ R^n.

18. Phương pháp khử Gauss dùng để:

A. Tính định thức của ma trận.

B. Giải hệ phương trình tuyến tính.

C. Tìm giá trị riêng của ma trận.

D. Đường chéo hóa ma trận.

19. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:

A. Cùng phương với u và v.

B. Nằm trong mặt phẳng sinh bởi u và v.

C. Vuông góc với cả u và v.

D. Có độ dài bằng tổng độ dài của u và v.

20. Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A:

A. Bằng định thức của ma trận A.

B. Đối dấu với định thức của ma trận A.

C. Nghịch đảo của định thức của ma trận A.

D. Bằng bình phương định thức của ma trận A.

21. Cho không gian vectơ V và W. Một ánh xạ tuyến tính T: V -> W là đơn ánh khi và chỉ khi:

A. ker(T) = {0}.

B. im(T) = W.

C. dim(V) = dim(W).

D. T là toàn ánh.

22. Cho ma trận A kích thước m x n. Số chiều của không gian nghiệm của hệ Ax = 0 cộng với hạng của ma trận A bằng:

A. m.

B. n.

C. m + n.

D. max(m, n).

23. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG làm thay đổi:

A. Định thức của ma trận.

B. Không gian nghiệm của hệ Ax = 0.

C. Không gian cột của ma trận.

D. Các giá trị riêng của ma trận.

24. Tích của hai ma trận vuông A và B khả nghịch khi và chỉ khi:

A. Cả A và B đều khả nghịch.

B. Hoặc A hoặc B khả nghịch.

C. A + B khả nghịch.

D. A - B khả nghịch.

25. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây không phải là phép chiếu?

A. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng qua gốc tọa độ.

B. Phép chiếu song song lên một mặt phẳng không qua gốc tọa độ.

C. Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng qua gốc tọa độ.

D. Phép chiếu lên trục x trong không gian 2D.

26. Không gian vectơ con của R^3 KHÔNG thể có số chiều là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

27. Giá trị riêng của ma trận tam giác trên là:

A. Tích của các phần tử trên đường chéo chính.

B. Các phần tử trên đường chéo chính.

C. Tổng của các phần tử trên đường chéo chính.

D. Các phần tử trên đường chéo phụ.

28. Trong không gian vectơ, một tập hợp các vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu:

A. Tất cả các vectơ trong tập hợp đều là vectơ không.

B. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vectơ bằng vectơ không.

C. Tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ đều bằng vectơ không.

D. Không có vectơ nào trong tập hợp là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

29. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu λ là giá trị riêng của A và v là vectơ riêng tương ứng, thì:

A. Av = λv.

B. Av = vλ.

C. Aλ = vv.

D. Av = 0.

30. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:

A. [[2, 1], [1, -1]]

B. [[2, -1], [1, 1]]

C. [[1, 2], [-1, 1]]

D. [[-1, 1], [2, 1]]