Đề 11 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

Tổng các giá trị riêng của ma trận vuông A (tính cả bội) bằng vết (trace) của A, tức là tổng các phần tử trên đường chéo chính của A. Tích các giá trị riêng bằng định thức của A.

Cơ sở của R^3 phải là một bộ vectơ độc lập tuyến tính và sinh ra R^3. Đáp án 1 thiếu vectơ để sinh ra R^3. Đáp án 2 thừa vectơ và có thể phụ thuộc tuyến tính. Đáp án 4 phụ thuộc tuyến tính. Đáp án 3 là cơ sở chính tắc của R^3, độc lập tuyến tính và sinh ra R^3.

Nếu det(A) = 0 thì ma trận A không khả nghịch (ma trận suy biến). Các phát biểu 1, 2, và 3 đều đúng và là các tính chất quan trọng liên quan đến ma trận khả nghịch và định thức.

Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (orthogonal matrix) nếu tích của chuyển vị của nó với chính nó bằng ma trận đơn vị, tức A^T * A = I. Điều này tương đương với việc các cột (và hàng) của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn.

Trong không gian vectơ Euclid, tích vô hướng của hai vectơ u và v bằng ||u|| ||v|| cos(θ), với θ là góc giữa u và v. Tích vô hướng bằng 0 khi cos(θ) = 0 (tức θ = 90 độ) hoặc khi một trong hai vectơ là vectơ không. Trường hợp quan trọng nhất là khi u và v vuông góc.

Hạng của ma trận (rank) là số chiều của không gian hàng hoặc không gian cột của ma trận. Chúng luôn bằng nhau. Hạng cũng là số cột (hoặc hàng) độc lập tuyến tính tối đa của ma trận.

Không gian con sinh bởi một tập hợp các vectơ S, ký hiệu span(S), là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong S. Đây là không gian vectơ nhỏ nhất chứa tất cả các vectơ trong S.

Tính chất quan trọng của định thức là det(AB) = det(A) * det(B), tức là định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức của chúng.

Hai không gian con U và W của V là bù nhau (complementary) nếu giao của chúng chỉ chứa vectơ không (U ∩ W = {0}) và tổng của chúng là toàn bộ không gian V (U + W = V). Điều này có nghĩa là mọi vectơ trong V có thể được biểu diễn duy nhất thành tổng của một vectơ trong U và một vectơ trong W.

Ma trận vuông A cấp n đường chéo hóa được khi và chỉ khi nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Điều này tương đương với việc tổng số chiều của các không gian riêng bằng n. Việc có giá trị riêng phân biệt là điều kiện đủ nhưng không phải điều kiện cần.

Xét vector (1, 1). Khi nhân ma trận [[2, 1], [1, 2]] với (1, 1) ta được [[2*1 + 1*1], [1*1 + 2*1]] = [[3], [3]] = 3*(1, 1). Vậy (1, 1) là vector riêng với giá trị riêng 3. Xét vector (1, -1). Khi nhân ma trận [[2, 1], [1, 2]] với (1, -1) ta được [[2*1 + 1*(-1)], [1*1 + 2*(-1)]] = [[1], [-1]] = 1*(1, -1). Vậy (1, -1) cũng là vector riêng với giá trị riêng 1. Tuy nhiên (1, 1) có trong các lựa chọn.

Quá trình Gram-Schmidt là một thuật toán để trực giao hóa (orthogonalize) một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính trong không gian tích trong. Nó biến một cơ sở bất kỳ thành một cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn.

Nếu v là vectơ riêng của A với giá trị riêng λ, thì Av = λv. Nếu A^2 = A, thì A^2v = Av. Mặt khác, A^2v = A(Av) = A(λv) = λ(Av) = λ(λv) = λ^2v. Vậy λ^2v = λv, hay (λ^2 - λ)v = 0. Vì v là vectơ riêng khác 0, nên λ^2 - λ = 0, suy ra λ(λ - 1) = 0, tức λ = 0 hoặc λ = 1.

Ma trận vuông khả nghịch (hay ma trận khả đảo) khi và chỉ khi các cột (hoặc hàng) của nó độc lập tuyến tính, tương đương với việc định thức khác 0 và hệ phương trình tuyến tính liên quan có nghiệm duy nhất.

Chuẩn (norm) của vectơ x trong không gian tích trong được định nghĩa là căn bậc hai của tích trong của x với chính nó, tức ||x|| = √(⟨x, x⟩). Đây là khái niệm tổng quát hóa độ dài của vectơ trong không gian Euclid.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn có nghiệm tầm thường x = 0. Hệ có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số A bằng 0, điều này đồng nghĩa với việc các cột của A phụ thuộc tuyến tính và rank(A) < n.

Ảnh của ánh xạ tuyến tính T (im(T)) chính là không gian cột của ma trận biểu diễn A. Không gian cột được sinh bởi các cột của A, và nó chứa tất cả các vectơ có dạng Ax, với x thuộc R^n.

Phương pháp khử Gauss (Gauss elimination) là một thuật toán cơ bản trong đại số tuyến tính, chủ yếu được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách đưa ma trận hệ số về dạng bậc thang hoặc dạng bậc thang rút gọn.

Tích có hướng (cross product) của hai vectơ u và v trong R^3, ký hiệu u x v, là một vectơ vuông góc với cả u và v. Hướng của nó được xác định bởi quy tắc bàn tay phải.

Tính chất quan trọng của định thức là det(A^T) = det(A), nghĩa là định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu.

Một ánh xạ tuyến tính T: V -> W là đơn ánh (injective) khi và chỉ khi hạt nhân (kernel) của nó chỉ chứa vectơ không, tức ker(T) = {0}. Điều này có nghĩa là chỉ có vectơ không trong V được ánh xạ tới vectơ không trong W.

Định lý hạng-vô hiệu (Rank-Nullity Theorem) phát biểu rằng với một ma trận A kích thước m x n, dim(ker(A)) + rank(A) = n. Trong đó dim(ker(A)) là số chiều của không gian nghiệm của hệ Ax = 0 (nullity of A), và rank(A) là hạng của ma trận A.

Phép biến đổi sơ cấp trên hàng (hoán vị hàng, nhân hàng với số khác 0, cộng bội của hàng này vào hàng khác) không làm thay đổi không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Ax = 0. Tuy nhiên, nó có thể thay đổi định thức, không gian cột và giá trị riêng.

Ma trận tích AB khả nghịch khi và chỉ khi cả A và B đều khả nghịch. Tính chất này xuất phát từ công thức (AB)^-1 = B^-1 A^-1. Nếu một trong hai ma trận không khả nghịch thì tích của chúng cũng không khả nghịch.

Phép chiếu tuyến tính phải là phép chiếu lên một không gian con. Phép chiếu song song lên một mặt phẳng không qua gốc tọa độ không phải là phép biến đổi tuyến tính vì nó không bảo toàn gốc tọa độ (phép biến đổi tuyến tính luôn biến gốc tọa độ thành gốc tọa độ).

Số chiều của không gian con của R^3 phải nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của R^3, tức là không lớn hơn 3. Các không gian con có thể có số chiều 0 (không gian vectơ không), 1 (đường thẳng qua gốc), 2 (mặt phẳng qua gốc), và 3 (toàn bộ R^3). Số chiều 4 là không thể.

Giá trị riêng của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) hoặc ma trận đường chéo chính là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Điều này là do đa thức đặc trưng của ma trận tam giác có dạng tích của (λ - a_ii), với a_ii là các phần tử trên đường chéo chính.

Định nghĩa của sự phụ thuộc tuyến tính: một tập hợp các vectơ {v1, v2, ..., vk} là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hệ số c1, c2, ..., ck không đồng thời bằng 0 sao cho c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0.

Định nghĩa cơ bản của giá trị riêng λ và vectơ riêng v của ma trận A là Av = λv, nghĩa là khi nhân ma trận A với vectơ riêng v, ta được một vectơ cùng phương với v và có độ dài được nhân lên λ lần.

Để tìm ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc, ta xét ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc e1 = (1, 0) và e2 = (0, 1). T(1, 0) = (2*1 + 0, 1 - 0) = (2, 1). T(0, 1) = (2*0 + 1, 0 - 1) = (1, -1). Các cột của ma trận biểu diễn là tọa độ của T(e1) và T(e2) theo cơ sở chính tắc, vậy ma trận là [[2, 1], [1, -1]].