Đề 15 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

Ma trận biểu diễn cho phép quay quanh gốc tọa độ một góc θ trong R^2 là [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]. Khi nhân ma trận này với vectơ cột (x, y), ta được vectơ mới là ảnh của (x, y) sau phép quay góc θ ngược chiều kim đồng hồ.

Phương pháp khử Gauss (Gauss elimination) là một thuật toán cơ bản trong đại số tuyến tính, chủ yếu được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách biến đổi hệ về dạng bậc thang hoặc dạng bậc thang rút gọn, từ đó dễ dàng tìm ra nghiệm.

Để là không gian con, tập hợp phải chứa vectơ không và đóng kín với phép cộng và phép nhân với số vô hướng. Tập hợp ở lựa chọn 2 thỏa mãn các điều kiện này: (0, 0, 0) thuộc tập hợp, tổng của hai vectơ trong tập hợp vẫn thuộc tập hợp, và tích của một số vô hướng với một vectơ trong tập hợp vẫn thuộc tập hợp. Các lựa chọn khác không thỏa mãn (ví dụ, lựa chọn 1 không chứa vectơ không, lựa chọn 3 và 4 không đóng kín với phép nhân với số vô hướng âm).

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn có nghiệm tầm thường (nghiệm không). Để có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không), định thức của ma trận hệ số A phải bằng 0, tức là ma trận A suy biến. Điều này tương đương với việc hạng của ma trận A nhỏ hơn cấp của ma trận (rank(A) < n).

Trong không gian vectơ, phép cộng vectơ có tính chất giao hoán (1), kết hợp (2), và tồn tại vectơ không (3). Tuy nhiên, lựa chọn 4 sai vì phải là `Tồn tại vectơ -u sao cho u + (-u) = 0` (nghịch đảo cộng), chứ không phải u - u = u.

Hai vectơ u và v được gọi là trực giao (vuông góc) nếu tích vô hướng của chúng bằng 0: u · v = 0. Lựa chọn 1 mô tả vectơ cùng phương. Các lựa chọn 3 và 4 không liên quan đến khái niệm trực giao.

Ma trận đơn vị (thường ký hiệu là I hoặc E) là ma trận vuông đặc biệt, có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả các phần tử còn lại bằng 0. Nó đóng vai trò phần tử đơn vị trong phép nhân ma trận.

Cơ sở của không gian vectơ là một tập hợp các vectơ vừa là tập sinh (mọi vectơ trong không gian có thể biểu diễn tuyến tính qua chúng) vừa độc lập tuyến tính (không vectơ nào trong tập hợp biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại). Lựa chọn 1 và 2 chỉ là điều kiện cần, không đủ. Lựa chọn 4 sai vì cơ sở không nhất thiết chứa vectơ không (thực tế không bao giờ chứa vectơ không trừ khi không gian chỉ chứa vectơ không).

Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi định thức khác 0, hệ AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường, và hạng của A bằng cấp của ma trận. Điều kiện `Tất cả các giá trị riêng của A đều bằng 0` là điều kiện cho ma trận lũy linh (nilpotent), không phải khả nghịch (trừ ma trận 0 cấp 0). Thực tế, ma trận khả nghịch không có giá trị riêng bằng 0.

Để tìm ma trận biểu diễn, ta xét ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc e1 = (1, 0) và e2 = (0, 1). T(e1) = T(1, 0) = (2, 1) và T(e2) = T(0, 1) = (1, -1). Các vectơ ảnh này viết theo cột tạo thành ma trận biểu diễn: [[2, 1], [1, -1]].

Phép chuyển vị có tính chất tuyến tính, tức là (A + B)^T = A^T + B^T. Các khẳng định khác không đúng nói chung: (1) chỉ đúng khi A và B giao hoán (AB=BA), (3) đúng phải là (AB)^T = B^T A^T, (4) không đúng, định thức không có tính cộng tính.

Giá trị riêng (eigenvalue) λ của ma trận A là một số vô hướng sao cho tồn tại một vectơ khác không v (vectơ riêng) thỏa mãn phương trình Av = λv. Lựa chọn 1 mô tả vectơ riêng, không phải giá trị riêng. Các lựa chọn 3 và 4 không liên quan trực tiếp đến giá trị riêng.

Ma trận vuông khả nghịch (hay không suy biến) khi và chỉ khi định thức của nó khác 0 và các cột (hoặc hàng) của nó độc lập tuyến tính. Các lựa chọn 1 và 2 mô tả trường hợp ma trận suy biến (không khả nghịch). Lựa chọn 4 không phải điều kiện cần và đủ.

Hạng của ma trận (rank) là số chiều của không gian hàng (row space) hoặc không gian cột (column space) của ma trận. Đây là số lượng hàng (hoặc cột) độc lập tuyến tính tối đa của ma trận.

Tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo là (A^(-1))^(-1) = A. Nghịch đảo của nghịch đảo của một ma trận chính là ma trận ban đầu.

Vectơ riêng v của ma trận A là vectơ khác không mà khi nhân với A, nó chỉ bị co giãn hoặc lật ngược hướng, chứ không thay đổi phương ban đầu. Tức là Av = λv, vectơ Av cùng phương với v.

Hạt nhân ker(T) của phép biến đổi tuyến tính T: V → W là tập hợp các vectơ trong V được ánh xạ tới vectơ không trong W. Do đó, ker(T) là không gian con của V. Ảnh im(T) là tập hợp tất cả các ảnh của các vectơ trong V, và do đó là không gian con của W.

Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 chính là không gian hạt nhân (kernel) hoặc không gian vô hiệu (null space) của ma trận A, ký hiệu Null(A) hoặc ker(A). Nó chứa tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0.

Một trong các tính chất của định thức là khi nhân một hàng (hoặc một cột) của ma trận với một số c, định thức của ma trận mới sẽ bằng c lần định thức của ma trận ban đầu.

Không gian con sinh bởi một tập hợp các vectơ S là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể tạo ra từ các vectơ trong S. Đây là không gian con nhỏ nhất chứa S.

Tích vô hướng (tích trong) chuẩn Euclide của hai vectơ u và v trong R^3 được tính bằng tổng tích các thành phần tương ứng: u · v = u1*v1 + u2*v2 + u3*v3. Lựa chọn 1 là tích của độ dài (chuẩn) của hai vectơ. Lựa chọn 2 là tổng vectơ. Lựa chọn 4 không phải là tích vô hướng chuẩn.

Số chiều của không gian vectơ là số lượng vectơ trong bất kỳ cơ sở nào của không gian đó. Nó cũng chính là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa có thể có trong không gian vectơ.

Phép biến đổi đồng dạng (similarity transformation) P^(-1)AP không làm thay đổi các giá trị riêng của ma trận A. Ma trận A và P^(-1)AP có cùng đa thức đặc trưng và do đó có cùng tập hợp các giá trị riêng.

Một tính chất quan trọng của định thức là định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức: det(AB) = det(A) * det(B).

Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. Các phần tử trên đường chéo chính có thể tùy ý.

Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng bao gồm: hoán đổi hai hàng, nhân một hàng với một số khác 0, và cộng một bội của một hàng vào hàng khác. Phép chuyển vị ma trận không phải là phép biến đổi sơ cấp trên hàng; nó là một phép toán khác tác động lên toàn bộ ma trận.

Phép chiếu trực giao của vectơ v lên không gian con W là vectơ trong W mà `gần` v nhất, theo nghĩa khoảng cách Euclide nhỏ nhất. Về mặt hình học, đó là `bóng` của v lên W khi chiếu vuông góc.

Một tính chất quan trọng của định thức là định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu: det(A^T) = det(A).

Đa thức đặc trưng của ma trận A được định nghĩa là p(λ) = det(λI - A), trong đó I là ma trận đơn vị cấp n và λ là biến số. Các nghiệm của phương trình đặc trưng p(λ) = 0 là các giá trị riêng của A. Một số tài liệu cũng dùng det(A - λI) = 0, nhưng det(λI - A) phổ biến hơn và đảm bảo hệ số cao nhất của đa thức đặc trưng là dương (nếu n chẵn).

Phân tích giá trị сингулярное (SVD) là một công cụ mạnh mẽ trong đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng, bao gồm nén ảnh, hệ thống gợi ý, và giảm chiều dữ liệu. Mặc dù SVD có thể liên quan đến việc giải hệ phương trình tuyến tính trong một số trường hợp đặc biệt (ví dụ, bài toán bình phương tối thiểu), nó không phải là ứng dụng chính trực tiếp để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát như các phương pháp khác (ví dụ, khử Gauss).