Đề 2 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Chuỗi lũy thừa ∑ aₙ (x - c)ⁿ hội tụ tại x = x₀. Phát biểu nào sau đây chắc chắn ĐÚNG?

A. Chuỗi hội tụ tại mọi x.

B. Chuỗi hội tụ tại mọi x sao cho |x - c| < |x₀ - c|.

C. Chuỗi hội tụ tại mọi x sao cho |x - c| ≤ |x₀ - c|.

D. Chuỗi hội tụ tại mọi x sao cho |x - c| < R, với R là bán kính hội tụ.

2. Tích phân đường loại hai ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào:

A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C, nhưng không phụ thuộc vào hình dạng đường cong.

B. Hình dạng đường cong C, nhưng không phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối.

C. Cả hình dạng đường cong C và hướng đi trên đường cong.

D. Chỉ hướng đi trên đường cong C, không phụ thuộc hình dạng.

3. Tích phân ∫(2x + 1)eˣ^² ⁺ ˣ dx bằng:

A. eˣ^² ⁺ ˣ + C

B. (x² + x)eˣ^² ⁺ ˣ + C

C. (1∕2)eˣ^² ⁺ ˣ + C

D. e²ˣ ⁺ ¹ + C

4. Trong không gian R³, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ như thế nào?

A. Song song với cả u và v.

B. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.

C. Trực giao với cả u và v.

D. Có độ dài bằng tổng độ dài của u và v.

5. Hàm số f(x) được gọi là liên tục đều trên khoảng I nếu:

A. lim (x→c) f(x) = f(c) tại mọi c thuộc I.

B. Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |x - y| < δ thì |f(x) - f(y)| < ε với mọi x, y thuộc I.

C. Đạo hàm f′(x) tồn tại trên I.

D. Tích phân ∫_I f(x) dx hội tụ.

6. Trong đại số tuyến tính, giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?

A. Các giá trị làm cho định thức của A bằng 0.

B. Các vectơ mà khi nhân với A, hướng của chúng không thay đổi.

C. Các giá trị λ thỏa mãn phương trình det(A - λI) = 0, với I là ma trận đơn vị.

D. Các hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận A.

7. Phép biến đổi Laplace biến hàm số f(t) thành hàm số F(s) được xác định bởi công thức:

A. F(s) = ∫_0^∞ f(t)eˢᵗ dt

B. F(s) = ∫_0^∞ f(t)e⁻ˢᵗ dt

C. F(s) = ∫_(-∞)^∞ f(t)e⁻ˢᵗ dt

D. F(s) = ∫_(-∞)^∞ f(t)eˢᵗ dt

8. Chuỗi số ∑ (1∕nᵅ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α < 1

B. α ≤ 1

C. α > 1

D. α ≥ 1

9. Cho hàm số f(x, y) = xy. Vi phân toàn phần df của hàm số này là:

A. df = x dx + y dy

B. df = y dx + x dy

C. df = xy dx + xy dy

D. df = (∂f∕∂x + ∂f∕∂y) dx dy

10. Trong không gian R³, phương trình x² + y² - z² = 1 biểu diễn hình gì?

A. Mặt paraboloid elliptic.

B. Mặt nón elliptic.

C. Mặt hyperboloid một tầng.

D. Mặt hyperboloid hai tầng.

11. Cho z = x + iy là số phức. Môđun của số phức z được định nghĩa là:

A. |z| = √(x + y)

B. |z| = x² + y²

C. |z| = √(x² + y²)

D. |z| = |x| + |y|

12. Cho ma trận A có định thức det(A) = 5. Định thức của ma trận 2A (với A là ma trận vuông cấp n) là:

A. 5

B. 10

C. 5 × 2ⁿ

D. 5 × 2

13. Trong không gian vectơ Rⁿ, cơ sở trực giao là gì?

A. Một tập hợp các vectơ sinh không gian Rⁿ.

B. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính sinh không gian Rⁿ.

C. Một cơ sở mà trong đó tất cả các vectơ đôi một trực giao.

D. Một cơ sở mà trong đó tất cả các vectơ có độ dài bằng 1.

14. Định lý Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân mặt.

B. Tích phân đường và tích phân bội hai.

C. Tích phân mặt và tích phân bội ba.

D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.

15. Trong tối ưu hóa, điểm dừng (stationary point) của hàm số f(x) là điểm mà tại đó:

A. f′`(x) > 0

B. f′`(x) < 0

C. f′(x) = 0

D. f′(x) ≠ 0

16. Trong lý thuyết trường, `divergence′ của một trường vectơ F đo lường điều gì?

A. Độ xoáy của trường vectơ.

B. Thông lượng của trường vectơ qua một mặt kín.

C. Mật độ nguồn hoặc hố của trường vectơ tại một điểm.

D. Hướng thay đổi lớn nhất của trường vectơ.

17. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x³y² + sin(x) tại điểm (0, π) theo biến x là:

A. 3x²y² + cos(x)

B. 3x²y² + y²cos(x)

C. 3π²

D. π² + 1

18. Tính giới hạn lim (x→0) (sin(x) - x) ∕ x³.

A. 0

B. 1

C. -1∕6

D. ∞

19. Trong giải tích vectơ, phép toán `grad′ (gradient) tác động lên:

A. Một trường vectơ và cho ra một trường vô hướng.

B. Một trường vô hướng và cho ra một trường vectơ.

C. Một trường vectơ và cho ra một trường vectơ.

D. Một trường vô hướng và cho ra một trường vô hướng.

20. Tích phân suy rộng ∫_1^∞ (1∕xᵖ) dx hội tụ khi nào?

A. p ≤ 1

B. p < 1

C. p > 1

D. p ≥ 1

21. Phép biến đổi Fourier biến một hàm số thời gian t thành hàm số tần số ω. Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) thực hiện phép biến đổi nào?

A. Từ miền tần số về miền thời gian.

B. Từ miền thời gian về miền tần số, tương tự phép biến đổi Fourier.

C. Từ miền thời gian về miền không gian.

D. Không thực hiện biến đổi nào, chỉ là phép tính toán lại.

22. Trong giải tích phức, tích phân đường cong kín của một hàm giải tích trên miền đơn liên là:

A. Luôn bằng 1.

B. Luôn bằng 0.

C. Có thể khác 0 tùy thuộc vào đường cong.

D. Không xác định.

23. Cho hàm số f(x) = ln(x² + 1). Đạo hàm cấp hai f′`(x) là:

A. 2x ∕ (x² + 1)

B. 2 ∕ (x² + 1)²

C. (2 - 2x²) ∕ (x² + 1)²

D. (2x² - 2) ∕ (x² + 1)²

24. Phương trình vi phân y′` + 2y′ + y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:

A. y = C1eˣ + C2e⁻ˣ

B. y = C1e⁻ˣ + C2xe⁻ˣ

C. y = C1cos(x) + C2sin(x)

D. y = C1eˣcos(x) + C2eˣsin(x)

25. Phương trình Laplace trong tọa độ Descartes là:

A. ∇^2 f = ∂^2f∕∂x² + ∂^2f∕∂y² + ∂^2f∕∂z² = 0

B. ∇f = ∂f∕∂x i + ∂f∕∂y j + ∂f∕∂z k = 0

C. ∇ × F = 0

D. ∇ · F = 0

26. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi nào?

A. Khi định thức của A bằng 0.

B. Khi hạng của A nhỏ hơn cấp của ma trận.

C. Khi tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I, với I là ma trận đơn vị.

D. Khi tất cả các phần tử trên đường chéo chính của A khác 0.

27. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′ - 2y = e²ˣ có dạng:

A. yₚ = Ae²ˣ

B. yₚ = Axe²ˣ

C. yₚ = Ax

D. yₚ = A

28. Trong không gian vectơ, phát biểu nào sau đây về tập sinh là ĐÚNG?

A. Tập sinh của một không gian vectơ là duy nhất.

B. Mọi tập con của tập sinh cũng là tập sinh.

C. Tập sinh luôn chứa vectơ không.

D. Tập sinh của một không gian vectơ là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong không gian đó.

29. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Biểu thức nào sau đây là toán tử Laplace?

A. ∇f = (∂f∕∂x, ∂f∕∂y)

B. div(grad f) = ∂^2f∕∂x² + ∂^2f∕∂y²

C. curl(grad f) = (∂^2f∕∂x∂y - ∂^2f∕∂y∂x)

D. grad(div F)

30. Cho trường vectơ F = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để trường vectơ F là trường bảo toàn là:

A. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y

B. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x

C. ∂P∕∂x = -∂Q∕∂y

D. ∂P∕∂y = -∂Q∕∂x