Đề 11 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (xⁿ ∕ n!) là:

A. (-∞, +∞)

B. (-1, 1)

C. [-1, 1]

D. [0, +∞)

2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = y là:

A. y = Ceˣ

B. y = Cx

C. y = C + x

D. y = eˣ + C

3. Tính phân kỳ (divergence) của trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z) là:

A. 3

B. 0

C. (1, 1, 1)

D. x + y + z

4. Biến đổi Fourier của hàm số f(t) = e⁻|ᵗ| là:

A. 2 ∕ (1 + ω²)

B. 1 ∕ (1 + ω²)

C. 2 ∕ (1 - ω²)

D. 1 ∕ (1 - ω²)

5. Phương trình vi phân y′` + 4y′ + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:

A. Thuần nhất

B. Không thuần nhất

C. Tuyến tính cấp một

D. Phi tuyến

6. Trong giải tích phức, điểm kỳ dị cô lập của hàm số f(z) là:

A. Điểm mà tại đó hàm số không chỉnh hình nhưng trong lân cận điểm đó hàm số chỉnh hình

B. Điểm mà tại đó hàm số chỉnh hình

C. Điểm mà tại đó hàm số liên tục

D. Điểm mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0

7. Trong không gian R³, phương trình x² + y² - z² = 1 biểu diễn mặt:

A. Hyperboloid một tầng

B. Hyperboloid hai tầng

C. Elipsoid

D. Paraboloid

8. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:

A. (1∕2)sin(2x) + C

B. sin(2x) + C

C. -sin(2x) + C

D. - (1∕2)sin(2x) + C

9. Định lý Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân mặt trên miền phẳng

B. Tích phân mặt và tích phân khối

C. Tích phân đường và tích phân bội hai

D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba

10. Trong lý thuyết tối ưu hóa, hàm Lagrange được sử dụng để:

A. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số

B. Tìm cực trị tự do của hàm số

C. Giải phương trình vi phân

D. Tính tích phân bội

11. Đường cong mức (level curve) của hàm số f(x, y) = x² + y² là:

A. Các đường tròn đồng tâm

B. Các đường thẳng song song

C. Các hyperbol

D. Các parabol

12. Công thức Stirling xấp xỉ giá trị của:

A. n!

B. eˣ

C. ln(x)

D. sin(x)

13. Phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp численное để tìm:

A. Nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

B. Giá trị lớn nhất của hàm số

C. Tích phân xác định

D. Đạo hàm của hàm số

14. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu:

A. det(A) ≠ 0

B. det(A) = 0

C. A là ma trận đường chéo

D. A là ma trận đơn vị

15. Cho hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2x. Hàm số này đạt cực đại tại x bằng:

A. 1 - √3∕3

B. 1 + √3∕3

C. 0

D. 2

16. Khẳng định nào sau đây về ma trận trực giao là SAI?

A. Ma trận trực giao luôn khả nghịch

B. Định thức của ma trận trực giao bằng ±1

C. Các cột của ma trận trực giao tạo thành một cơ sở trực chuẩn

D. Ma trận trực giao không thể là ma trận đơn vị

17. Sai phân hữu hạn tiến (forward difference) Δf(x) được định nghĩa là:

A. f(x + h) - f(x)

B. f(x) - f(x - h)

C. (f(x + h) - f(x - h)) ∕ 2

D. (f(x + h) + f(x)) ∕ 2

18. Cho hàm số hai biến f(x, y) = x² + y². Điểm dừng của hàm số này là:

A. (0, 0)

B. (1, 1)

C. (1, 0)

D. (0, 1)

19. Trong không gian vectơ R³, tích có hướng của hai vectơ a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0) là:

A. (0, 0, 1)

B. (0, 0, -1)

C. (1, 1, 0)

D. (-1, -1, 0)

20. Điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trườngGradient (trường bảo toàn) trên miền liên thông đơn D là:

A. curl(F) = 0 trên D

B. div(F) = 0 trên D

C. F là liên tục trên D

D. F có đạo hàm riêng trên D

21. Hàm số f(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 không?

A. Không

B. Có, và bằng 0

C. Có, và bằng 1

D. Có, và bằng -1

22. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào:

A. Hướng đi của đường cong C

B. Tham số hóa của đường cong C

C. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C

D. Diện tích miền giới hạn bởi đường cong C

23. Giá trị riêng của ma trận đơn vị cấp n là:

A. 1 (với bội số n)

B. 0 (với bội số n)

C. n

D. 1∕n

24. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. p > 1

B. p ≥ 1

C. p < 1

D. p ≤ 1

25. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x² + 1) là:

A. 2x ∕ (x² + 1)

B. 1 ∕ (x² + 1)

C. 2x × ln(x² + 1)

D. 1 ∕ x

26. Giới hạn của dãy số (1 + 1∕n)ⁿ khi n tiến tới vô cùng là:

A. e

B. 1

C. 0

D. ∞

27. Định lý Cauchy về giá trị trung bình mở rộng là sự mở rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange cho:

A. Hai hàm số

B. Hàm số phức

C. Hàm số nhiều biến

D. Đạo hàm cấp cao

28. Công thức Euler liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác là:

A. eⁱᶿ = cos(θ) + i sin(θ)

B. eⁱᶿ = sin(θ) + i cos(θ)

C. eᶿ = cos(iθ) + i sin(iθ)

D. eᶿ = cos(θ) - i sin(θ)

29. Trong không gian R², chuẩn Euclide của vectơ v = (3, 4) là:

A. 5

B. 7

C. 25

D. √7

30. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:

A. 1∕s

B. s

C. 1

D. 1∕s²