Đề 9 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Ma trận đơn vị cấp 3 là ma trận vuông có kích thước 3x3 với tính chất:

A. Tất cả các phần tử đều bằng 1.

B. Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0.

C. Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại bằng 1.

D. Tất cả các phần tử đều bằng 0.

2. Thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao c là:

A. a + b + c

B. 2(ab + bc + ca)

C. abc

D. (1∕3)abc

3. Đạo hàm của hàm số hợp y = f(g(x)) được tính theo quy tắc nào sau đây?

A. y′ = f′(x)g′(x).

B. y′ = f′(g(x)).

C. y′ = f′(g(x))g′(x).

D. y′ = f(g′(x))g′(x).

4. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 là:

A. f(x) liên tục tại x0.

B. f(x) có giới hạn tại x0.

C. f(x) liên tục tại x0 và đạo hàm của f(x) tồn tại tại x0.

D. f(x) bị chặn tại x0.

5. Phép toán nào sau đây không phải là phép toán cơ bản trên ma trận?

A. Phép cộng ma trận.

B. Phép nhân ma trận.

C. Phép chia ma trận.

D. Phép nhân ma trận với một số vô hướng.

6. Trong thống kê toán học, phân phối chuẩn (phân phối Gauss) được đặc trưng bởi hai tham số chính là:

A. Trung bình và phương sai.

B. Trung vị và khoảng tứ phân vị.

C. Mốt và độ lệch chuẩn.

D. Hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn.

7. Giới hạn của hàm số f(x) = (sin(x))∕x khi x tiến tới 0 là:

A. 0

B. 1

C. ∞

D. Không xác định

8. Trong không gian vectơ R³, tích có hướng của hai vectơ u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) là một vectơ:

A. Vô hướng

B. Có hướng vuông góc với cả u và v

C. Có hướng cùng phương với u

D. Có hướng cùng phương với v

9. Tính chất tuyến tính của phép tích phân nói rằng:

A. ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx × ∫[a, b] g(x) dx.

B. ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx.

C. ∫[a, b] cf(x) dx = f(c)∫[a, b] f(x) dx (c là hằng số).

D. ∫[a, b] cf(x) dx = c + ∫[a, b] f(x) dx (c là hằng số).

10. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. p ≤ 1

B. p < 1

C. p > 1

D. p ≥ 1

11. Trong không gian R², phương trình x² + y² = r² biểu diễn hình học nào?

A. Đường thẳng.

B. Đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính r.

C. Parabol.

D. Elip.

12. Định thức của ma trận vuông cấp 2, A = [[a, b], [c, d]], được tính bằng công thức nào sau đây?

A. ad + bc

B. ac - bd

C. ad - bc

D. ab - cd

13. Công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a là một chuỗi:

A. Chuỗi lượng giác.

B. Chuỗi lũy thừa.

C. Chuỗi hình học.

D. Chuỗi điều hòa.

14. Phép biến đổi Laplace biến một hàm số thời gian t thành một hàm số theo biến:

A. ω (tần số góc).

B. s (biến phức).

C. x (biến không gian).

D. t (thời gian).

15. Trong tối ưu hóa hàm số nhiều biến, điểm dừng (điểm tới hạn) là điểm mà tại đó:

A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất.

B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

C. Gradient của hàm số bằng vectơ không.

D. Hàm số không xác định.

16. Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm là:

A. det(A) ≠ 0.

B. rank(A) = rank([A|B]).

C. Ma trận A là ma trận vuông.

D. Ma trận B là ma trận không.

17. Phép biến đổi Fourier phân tích một hàm số thành tổng của các hàm số lượng giác nào?

A. Hàm đa thức.

B. Hàm mũ.

C. Hàm sin và cosin.

D. Hàm hyperbolic.

18. Trong không gian R³, phương trình ax + by + cz = d biểu diễn hình học nào?

A. Đường thẳng.

B. Mặt phẳng.

C. Mặt cầu.

D. Đường tròn.

19. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:

A. x² + 3x + C

B. 2x² + 3x + C

C. x² + C

D. 2x + C

20. Hạng của ma trận là:

A. Số cột của ma trận.

B. Số dòng của ma trận.

C. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian dòng) của ma trận.

D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.

21. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:

A. Số đỉnh của đồ thị.

B. Số cạnh của đồ thị.

C. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó.

D. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó.

22. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Đạo hàm riêng của f theo x, ký hiệu ∂f∕∂x, là:

A. 2y

B. 2x

C. 2x + 2y

D. 0

23. Tích phân xác định ∫[a, b] f(x) dx biểu diễn điều gì về mặt hình học nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b]?

A. Độ dài đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b.

B. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b.

C. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

D. Góc giữa đường cong y = f(x) và trục Ox.

24. Trong không gian vectơ, một tập hợp các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không, trong đó tất cả các hệ số đều khác không.

B. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng không.

C. Tất cả các vectơ trong tập hợp đều khác vectơ không.

D. Tập hợp chứa ít nhất một vectơ không.

25. Đạo hàm của hàm số y = x³ - 2x² + 5x - 7 là:

A. y′ = 3x² - 4x + 5

B. y′ = x² - 4x + 5

C. y′ = 3x² - 2x + 5

D. y′ = 3x³ - 4x² + 5x

26. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?

A. y′` + y² = sin(x)

B. y′ + xy = x²

C. (y′)² + y = eˣ

D. y′`y′ + y = cos(x)

27. Điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ cₙ (x - a)ⁿ được xác định bởi:

A. Bán kính hội tụ R.

B. Tổng riêng của chuỗi.

C. Hệ số cₙ.

D. Điểm a.

28. Giá trị riêng của ma trận vuông A là:

A. Định thức của ma trận A.

B. Vectơ mà khi nhân với ma trận A không thay đổi hướng.

C. Số λ sao cho tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn Av = λv.

D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.

29. Trong giải tích vectơ, gradient của một trường vô hướng f(x, y, z) là một:

A. Số vô hướng.

B. Vectơ.

C. Ma trận.

D. Hàm số.

30. Trong giải tích phức, số phức z = a + bi được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm có tọa độ:

A. (a, b)

B. (a, -b)

C. (b, a)

D. (-a, b)