Đề 11 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

Để tìm miền hội tụ, ta sử dụng tiêu chuẩn tỷ lệ (ratio test). Xét tỷ lệ |aₙ₊₁∕aₙ| = |(xⁿ⁺¹∕(n+1)!) ∕ (xⁿ∕n!)| = |x∕(n+1)|. Khi n → ∞, tỷ lệ này tiến tới 0 với mọi giá trị x. Vì 0 < 1, chuỗi lũy thừa hội tụ với mọi x thuộc R, tức là miền hội tụ là (-∞, +∞).

Phương trình y′ = y là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất tách biến được. Ta có dy∕dx = y ⇒ dy∕y = dx. Tích phân cả hai vế, ta được ln|y| = x + C₁, suy ra |y| = eˣ⁺C₁ = eC₁ × eˣ. Đặt C = ±eC₁, ta có nghiệm tổng quát y = Ceˣ.

Phân kỳ của trường vectơ F = (P, Q, R) là div(F) = ∂P∕∂x + ∂Q∕∂y + ∂R∕∂z. Trong trường hợp này, P = x, Q = y, R = z. Do đó, div(F) = ∂x∕∂x + ∂y∕∂y + ∂z∕∂z = 1 + 1 + 1 = 3.

Biến đổi Fourier của hàm f(t) = e⁻|ᵗ| được tính bằng tích phân F(ω) = ∫_(-∞)⁺∞ e⁻ⁱωᵗ e⁻|ᵗ| dt. Phân tích tích phân thành hai phần (t < 0 và t ≥ 0) và tính toán, ta thu được F(ω) = 2 ∕ (1 + ω²).

Phương trình vi phân được gọi là thuần nhất nếu vế phải của phương trình bằng 0. Trong trường hợp này, vế phải là 0, do đó phương trình là thuần nhất. Nó cũng là tuyến tính và cấp hai do đạo hàm cao nhất là đạo hàm cấp hai và các hệ số là hằng số.

Điểm kỳ dị cô lập của hàm số phức f(z) là một điểm z₀ mà tại đó f(z) không chỉnh hình, nhưng tồn tại một lân cận của z₀ (trừ chính điểm z₀) trong đó f(z) chỉnh hình. Điều này có nghĩa là hàm số `xấu′ chỉ tại điểm z₀, nhưng `tốt′ xung quanh nó.

Phương trình x² + y² - z² = 1 có dạng của hyperboloid một tầng. Dấu trừ trước z² và dấu cộng trước x² và y² cho thấy mặt này mở ra theo trục z và có dạng `một tầng′ (liên thông).

Ta biết rằng đạo hàm của sin(2x) là 2cos(2x). Do đó, để tích phân cos(2x), ta cần chia cho 2, thu được (1∕2)sin(2x) + C, với C là hằng số tích phân.

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes trong mặt phẳng. Nó liên hệ tích phân đường dọc theo một đường cong kín C trên mặt phẳng với tích phân bội hai trên miền D bị giới hạn bởi C. Công thức phát biểu ∫_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA.

Hàm Lagrange là một công cụ quan trọng trong lý thuyết tối ưu hóa để tìm cực trị có điều kiện của hàm số. Khi có một hàm mục tiêu cần tối ưu hóa và các ràng buộc dưới dạng đẳng thức, phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng hàm Lagrange để chuyển bài toán tối ưu hóa có điều kiện thành bài toán tìm cực trị tự do của hàm Lagrange.

Đường cong mức của hàm số f(x, y) được xác định bởi phương trình f(x, y) = c, với c là hằng số. Với f(x, y) = x² + y², phương trình đường cong mức là x² + y² = c. Nếu c > 0, đây là phương trình của đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính √c. Với các giá trị c khác nhau, ta được các đường tròn đồng tâm.

Công thức Stirling là một công thức xấp xỉ cho giai thừa của một số nguyên lớn n (n!). Công thức thường được viết là n! ≈ √(2πn) × (n∕e)ⁿ. Nó cung cấp một xấp xỉ khá chính xác cho n! khi n lớn, và rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực như xác suất, thống kê và vật lý.

Phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp lặp численное mạnh mẽ và phổ biến để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0. Nó sử dụng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm gần nghiệm để xấp xỉ nghiệm tiếp theo. Phương pháp này hội tụ nhanh nếu điểm ban đầu đủ gần nghiệm thực.

Một ma trận vuông là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Điều này đảm bảo tồn tại ma trận nghịch đảo A⁻¹ sao cho A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I, với I là ma trận đơn vị.

Tìm điểm cực trị bằng cách giải f′(x) = 0. f′(x) = 3x² - 6x + 2. Giải 3x² - 6x + 2 = 0, ta được x = (6 ± √(36 - 24)) ∕ 6 = (6 ± √12) ∕ 6 = 1 ± √(12)∕6 = 1 ± 2√3∕6 = 1 ± √3∕3. Để xác định cực đại, xét f′`(x) = 6x - 6. f′`(1 - √3∕3) = 6(1 - √3∕3) - 6 = -2√3 < 0, nên x = 1 - √3∕3 là điểm cực đại.

Ma trận trực giao A là ma trận vuông thỏa mãn AᵀA = AAᵀ = I. 1) Đúng: Ma trận trực giao luôn khả nghịch và nghịch đảo của nó là chuyển vị của nó (A⁻¹ = Aᵀ). 2) Đúng: det(AᵀA) = det(Aᵀ)det(A) = (det(A))² = det(I) = 1, suy ra det(A) = ±1. 3) Đúng: Các cột (và hàng) của ma trận trực giao tạo thành một tập hợp trực chuẩn. 4) SAI: Ma trận đơn vị I là ma trận trực giao vì IᵀI = II = I. Vì vậy, ma trận trực giao hoàn toàn có thể là ma trận đơn vị.

Sai phân hữu hạn tiến Δf(x) là một xấp xỉ của đạo hàm của hàm số f(x). Nó được định nghĩa là Δf(x) = f(x + h) - f(x), trong đó h là bước sai phân. Nó đo sự thay đổi của hàm số từ x đến x + h.

Điểm dừng của hàm số hai biến là điểm mà tại đó đạo hàm riêng theo cả x và y đều bằng 0. Ta có ∂f∕∂x = 2x và ∂f∕∂y = 2y. Đặt cả hai bằng 0, ta được x = 0 và y = 0. Vậy điểm dừng là (0, 0).

Tích có hướng của a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃) là (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁). Trong trường hợp này, a x b = (0*0 - 0*1, 0*0 - 1*0, 1*1 - 0*0) = (0, 0, 1).

Theo định lý về trường Gradient, một trường vectơ F là trường Gradient (tức là F = ∇f cho một hàm vô hướng f) trên miền liên thông đơn D khi và chỉ khi curl(F) = 0 trên D. Điều kiện này đảm bảo rằng tích phân đường của F dọc theo bất kỳ đường cong kín nào trong D đều bằng 0, và tích phân đường chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối.

Hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x = 0 vì giới hạn của (f(x) - f(0))∕(x - 0) khi x tiến tới 0 từ bên phải và bên trái khác nhau. Đạo hàm bên phải là 1, đạo hàm bên trái là -1. Do đó, đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.

Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào hướng đi của đường cong C. Đổi hướng đi của đường cong (tức là đi từ A đến B thay vì từ B đến A) sẽ đổi dấu giá trị của tích phân. Tham số hóa cũng ảnh hưởng, nhưng hướng đi là yếu tố bản chất quyết định dấu của tích phân.

Ma trận đơn vị I cấp n có dạng đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1. Phương trình đặc trưng là det(I - λI) = det((1-λ)I) = (1-λ)ⁿ = 0. Do đó, giá trị riêng duy nhất là λ = 1 với bội số đại số là n.

Đây là chuỗi p (p-series). Chuỗi p hội tụ khi và chỉ khi p > 1. Khi p ≤ 1, chuỗi phân kỳ. Đây là một kết quả cơ bản trong lý thuyết chuỗi số.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (ln(u))′ = u′ ∕ u, với u = x² + 1, ta có u′ = 2x. Do đó, đạo hàm của ln(x² + 1) là 2x ∕ (x² + 1).

Đây là định nghĩa giới hạn cơ bản của số e (số Euler). lim (n→∞) (1 + 1∕n)ⁿ = e ≈ 2.71828.

Định lý Cauchy về giá trị trung bình mở rộng (hoặc Định lý giá trị trung bình tổng quát) mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange bằng cách áp dụng cho tỷ lệ của sự thay đổi của hai hàm số. Thay vì chỉ một hàm số như trong Định lý Lagrange, Định lý Cauchy xét hai hàm số f(x) và g(x).

Công thức Euler là một công thức quan trọng trong giải tích phức, thiết lập mối liên hệ sâu sắc giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác. Công thức được biểu diễn là eⁱᶿ = cos(θ) + i sin(θ), trong đó e là cơ số của logarit tự nhiên, i là đơn vị ảo, và θ là một số thực (thường biểu diễn góc theo radian).

Chuẩn Euclide (hay độ dài) của vectơ v = (v₁, v₂) trong R² là ||v|| = √(v₁² + v₂²). Với v = (3, 4), ta có ||v|| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Phép biến đổi Laplace của hàm f(t) được định nghĩa là F(s) = ∫₀^∞ e⁻ˢᵗf(t) dt. Với f(t) = 1, ta có F(s) = ∫₀^∞ e⁻ˢᵗ dt = [-1∕s × e⁻ˢᵗ]₀^∞ = 0 - (-1∕s) = 1∕s (với Re(s) > 0).