Đề 5 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu:

A. det(A) ≠ 0

B. det(A) = 0

C. A là ma trận đường chéo

D. A là ma trận đơn vị

2. Công thức Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân kép

B. Tích phân mặt và tích phân đường

C. Tích phân bội ba và tích phân mặt

D. Đạo hàm và tích phân

3. Giá trị riêng của ma trận là:

A. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0

B. Các cột của ma trận sau khi khử Gauss

C. Các hàng của ma trận sau khi khử Gauss

D. Định thức của ma trận

4. Trong lý thuyết đồ thị, định lý Cayley phát biểu rằng số cây khung của đồ thị đầy đủ Kₙ là:

A. nⁿ⁻²

B. n!

C. 2ⁿ

D. nⁿ⁻¹

5. Trong không gian Banach, mọi dãy Cauchy:

A. Hội tụ

B. Phân kỳ

C. Bị chặn nhưng không hội tụ

D. Không bị chặn

6. Điều kiện hội tụ của chuỗi số ∑ aₙ là:

A. lim (n→∞) aₙ = 0 (điều kiện cần)

B. lim (n→∞) aₙ ≠ 0 (điều kiện đủ)

C. aₙ > 0 với mọi n (điều kiện cần)

D. aₙ < 0 với mọi n (điều kiện đủ)

7. Định lý Rolle phát biểu rằng:

A. Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c thuộc (a, b) sao cho f′(c) = 0

B. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a, b]

C. Nếu f(x) khả vi trên (a, b) thì f(x) liên tục trên (a, b)

D. Nếu f′(x) = 0 trên (a, b) thì f(x) là hằng số trên (a, b)

8. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) khả vi tại x₀ là:

A. f(x) liên tục tại x₀ và có đạo hàm tại x₀

B. f(x) liên tục tại x₀

C. f(x) có đạo hàm tại x₀

D. f(x) bị chặn tại x₀

9. Phép biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích tín hiệu trong miền:

A. Tần số

B. Thời gian

C. Không gian

D. Biên độ

10. Định lý Stokes tổng quát liên hệ giữa:

A. Tích phân mặt và tích phân đường trong không gian n chiều

B. Tích phân kép và tích phân đường trong mặt phẳng

C. Tích phân bội ba và tích phân mặt trong không gian 3 chiều

D. Đạo hàm và tích phân trong không gian 1 chiều

11. Trong giải tích hàm, không gian Hilbert là một không gian vectơ:

A. Tích trong đầy đủ

B. Định chuẩn đầy đủ

C. Metric đầy đủ

D. Tuyến tính đầy đủ

12. Phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực nào?

A. Xử lý tín hiệu số

B. Giải tích hàm phức

C. Hình học vi phân

D. Lý thuyết số

13. Trong giải tích phức, số phức i là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. z² + 1 = 0

B. z² - 1 = 0

C. z - 1 = 0

D. z + 1 = 0

14. Đạo hàm riêng theo x của hàm số f(x, y) = x²y + sin(xy) là:

A. 2xy + ycos(xy)

B. x² + xcos(xy)

C. 2xy + cos(xy)

D. 2x + ycos(xy)

15. Sai phân hữu hạn thường được sử dụng để:

A. Xấp xỉ đạo hàm và giải phương trình vi phân

B. Tính tích phân xác định

C. Tìm nghiệm chính xác của phương trình

D. Chứng minh định lý toán học

16. Tích phân đường loại 1 tính trên đường cong C tham số r(t) từ a đến b được tính bằng công thức nào?

A. ∫[a,b] f(r(t)) ||r′(t)|| dt

B. ∫[a,b] f(r(t)) r′(t) dt

C. ∫[a,b] f(r(t)) dt

D. ∫[a,b] f(t) ||r′(t)|| dt

17. Trong không gian vectơ R³, tích vô hướng của hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (-1, 0, 2) là:

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

18. Phương pháp lặp Newton-Raphson được dùng để:

A. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

B. Tính tích phân xác định

C. Tìm đạo hàm của hàm số

D. Giải hệ phương trình tuyến tính

19. Giới hạn của dãy số (1 + 1∕n)ⁿ khi n tiến tới vô cùng là:

A. e

B. 1

C. 0

D. vô cùng

20. Trong không gian metric, một tập hợp được gọi là compact nếu nó:

A. Vừa đóng vừa bị chặn

B. Đóng nhưng không bị chặn

C. Bị chặn nhưng không đóng

D. Vừa mở vừa đóng

21. Trong tối ưu hóa, hàm Lagrange được sử dụng để:

A. Tìm cực trị có điều kiện

B. Tìm cực trị tự do

C. Giải phương trình vi phân

D. Tính tích phân

22. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn:

A. Có nghiệm tầm thường

B. Vô nghiệm

C. Có vô số nghiệm

D. Có nghiệm duy nhất khác nghiệm tầm thường

23. Phép biến đổi Laplace được sử dụng chủ yếu để giải loại phương trình nào?

A. Phương trình vi phân tuyến tính

B. Phương trình đại số

C. Phương trình lượng giác

D. Phương trình vi phân phi tuyến

24. Trong lý thuyết nhóm, một nhóm Abel là một nhóm:

A. Giao hoán

B. Không giao hoán

C. Cyclic

D. Hữu hạn

25. Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - 2x² + 5x - 7 là:

A. 3x² - 4x + 5

B. x² - 4x + 5

C. 3x² - 2x + 5

D. 3x³ - 4x² + 5x

26. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên có tập giá trị:

A. Đếm được

B. Liên tục

C. Bất kỳ

D. Không đếm được

27. Hạng của ma trận là:

A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng)

B. Số hàng của ma trận

C. Số cột của ma trận

D. Định thức của ma trận

28. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:

A. x² + 3x + C

B. 2x² + 3x + C

C. x² + C

D. 2x + C

29. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:

A. ∑ (xⁿ ∕ n!) từ n=0 đến ∞

B. ∑ ((-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!) từ n=0 đến ∞

C. ∑ (xⁿ ∕ n) từ n=1 đến ∞

D. ∑ (x²ⁿ ∕ (2n)!) từ n=0 đến ∞

30. Trong hình học vi phân, độ cong của đường cong tại một điểm đo lường:

A. Tốc độ thay đổi của vectơ tiếp tuyến

B. Độ dài của đường cong

C. Diện tích giới hạn bởi đường cong

D. Hướng của đường cong