1. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi hội tụ?
A. ∑ (1/n)
B. ∑ (n/ (n+1))
C. ∑ (1/n^2)
D. ∑ (-1)^n
2. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân bội hai như thế nào?
A. Biến đổi tích phân đường thành tích phân đường khác.
B. Biến đổi tích phân bội hai thành tích phân bội ba.
C. Biến đổi tích phân đường dọc theo biên của miền phẳng D thành tích phân bội hai trên miền D.
D. Công thức Green không liên hệ giữa tích phân đường và tích phân bội hai.
3. Ma trận Hessian được sử dụng để làm gì trong bài toán cực trị của hàm nhiều biến?
A. Tìm điểm dừng của hàm số.
B. Xác định tính đơn ánh của hàm số.
C. Xác định tính lồi lõm của hàm số.
D. Xác định cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa tại điểm dừng.
4. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để chuỗi số ∑an hội tụ theo tiêu chuẩn D'Alembert?
A. lim (n→∞) |an+1/an| > 1
B. lim (n→∞) |an+1/an| = 1
C. lim (n→∞) |an+1/an| < 1
D. lim (n→∞) an = 0
5. Phương trình nào sau đây là phương trình Laplace?
A. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = f(x, y)
B. ∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2)
C. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0
D. ∂u/∂t + u(∂u/∂x) = ν(∂^2u/∂x^2)
6. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x^n / n!) là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. [0, +∞)
7. Tích phân đường loại 1 của hàm số f(x, y) dọc theo đường cong C được tính bằng công thức nào?
A. ∫c f(x, y) ds = ∫ab f(x(t), y(t)) dt
B. ∫c f(x, y) ds = ∫ab f(x(t), y(t)) √(x'(t)^2 + y'(t)^2) dt
C. ∫c f(x, y) ds = ∫ab f(x(t), y(t)) (x'(t) + y'(t)) dt
D. ∫c f(x, y) ds = ∫ab f(x(t), y(t)) |x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)| dt
8. Phương trình vi phân nào sau đây mô tả dao động điều hòa tắt dần?
A. x'' + kx = 0
B. x'' + γx' + kx = 0 (γ > 0)
C. x'' + γx' = 0 (γ > 0)
D. x'' + kx = F0cos(ωt)
9. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y' = x + y
B. y' = xy + x
C. y' = x/y
D. y' = x^2 + y^2
10. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).
A. ∇f(1, 2) = (1, 2)
B. ∇f(1, 2) = (2, 4)
C. ∇f(1, 2) = (4, 2)
D. ∇f(1, 2) = (2x, 2y)
11. Tích phân bội hai ∫∫R f(x, y) dA có thể được chuyển về tích phân lặp bằng cách nào?
A. Chỉ có thể chuyển về tích phân lặp theo thứ tự dx dy.
B. Chỉ có thể chuyển về tích phân lặp theo thứ tự dy dx.
C. Có thể chuyển về tích phân lặp theo thứ tự dx dy hoặc dy dx, tùy thuộc vào miền R và hàm f(x, y).
D. Không thể chuyển về tích phân lặp trong mọi trường hợp.
12. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng số có phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt r1 và r2 là:
A. y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)
B. y = (C1 + C2x)e^(r1x)
C. y = C1cos(r1x) + C2sin(r2x)
D. y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))
13. Để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số, ta sử dụng phương pháp nào?
A. Phương pháp tách biến.
B. Phương pháp biến thiên tham số.
C. Phương pháp ma trận giá trị riêng và vectơ riêng.
D. Phương pháp hệ số bất định.
14. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' - 4y' + 4y = e^(2x) có dạng nào?
A. y_p = Ae^(2x)
B. y_p = Axe^(2x)
C. y_p = Ax^2e^(2x)
D. y_p = A + Be^(2x)
15. Đổi thứ tự tích phân trong tích phân lặp ∫0^1 ∫x^1 f(x, y) dy dx.
A. ∫0^1 ∫0^y f(x, y) dx dy
B. ∫x^1 ∫0^1 f(x, y) dx dy
C. ∫0^1 ∫0^x f(x, y) dx dy
D. ∫1^∞ ∫0^1 f(x, y) dx dy
16. Định lý Stokes liên hệ giữa loại tích phân nào?
A. Tích phân đường và tích phân bội hai.
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
C. Tích phân đường và tích phân mặt.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
17. Phương pháp biến thiên tham số được sử dụng để tìm nghiệm riêng của loại phương trình vi phân nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
C. Phương trình vi phân tách biến.
D. Phương trình vi phân Bernoulli.
18. Tìm điểm dừng của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng.
19. Tính phân kỳ (divergence) của trường vectơ F(x, y, z) = (x^2, xy, xz).
A. div F = 2x + x + x
B. div F = (2x, y, z)
C. div F = 2x + y + x
D. div F = 2x + x + 0
20. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] là:
A. λ = 1, λ = 2
B. λ = 1, λ = 3
C. λ = 2, λ = 3
D. λ = 0, λ = 3
21. Ứng dụng của tích phân đường trong vật lý là gì?
A. Tính diện tích bề mặt.
B. Tính thể tích vật rắn.
C. Tính công của lực dọc theo một đường cong.
D. Tính đạo hàm của hàm nhiều biến.
22. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số?
A. y'' + x*y' + y = 0
B. y'' + 2y' + sin(x)y = x^2
C. y'' + 3y' + 2y = e^x
D. y'' + (y')^2 + y = 0
23. Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f(x, y), ta cần xét đến điều kiện cần và điều kiện đủ. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại điểm (x0, y0) là gì?
A. Các đạo hàm riêng fx(x0, y0) và fy(x0, y0) phải dương.
B. Các đạo hàm riêng fx(x0, y0) và fy(x0, y0) phải âm.
C. Các đạo hàm riêng fx(x0, y0) và fy(x0, y0) phải bằng 0 hoặc không tồn tại.
D. Định thức Hessian tại (x0, y0) phải dương.
24. Điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trường thế (trường bảo toàn) là gì?
A. div F = 0.
B. curl F = 0.
C. F là trường vectơ liên tục.
D. F có đạo hàm riêng liên tục.
25. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt cong z = f(x, y) trên miền D?
A. ∬D √(1 + fx^2 + fy^2) dx dy
B. ∬D √(fx^2 + fy^2) dx dy
C. ∬D (1 + fx^2 + fy^2) dx dy
D. ∬D |fx*fy| dx dy
26. Trong tọa độ cực, Jacobian của phép biến đổi từ (r, θ) sang (x, y) là bao nhiêu?
A. r
B. r^2
C. sin(θ)
D. cos(θ)
27. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' = 2x là:
A. y = 2x + C
B. y = x^2 + C
C. y = 2 + C
D. y = x^2
28. Tính tích phân suy rộng ∫0^∞ e^(-x) dx.
29. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x^2 + y^2 = 1
C. 2x - y + 3z = 5
D. z = x^2 + y^2
30. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số f(x, y) được ký hiệu là fxy(x, y) và fyx(x, y). Trong điều kiện nào thì fxy(x, y) = fyx(x, y)?
A. Luôn luôn đúng với mọi hàm số f(x, y).
B. Khi f(x, y) là hàm đa thức.
C. Khi các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục tại điểm đang xét.
D. Khi f(x, y) khả vi tại điểm đang xét.
