1. Tích phân đường loại 2 ∫_C (x dy - y dx) trên đường tròn C: x^2 + y^2 = R^2, lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, có giá trị bằng:
A. 0
B. πR^2
C. 2πR^2
D. 4πR^2
2. Cho hàm số f(x, y) = xy. Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y là:
3. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π được biểu diễn dưới dạng:
A. f(x) = a_0 + ∑_(n=1)^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
B. f(x) = a_0 + ∑_(n=1)^∞ (a_n sin(nx) + b_n cos(nx))
C. f(x) = ∑_(n=1)^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
D. f(x) = a_0 + ∑_(n=1)^∞ a_n cos(nx)
4. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x_0:
A. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(x_0) / n!) * (x - x_0)^n
B. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(0) / n!) * x^n
C. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (f(x_0) / n!) * (x - x_0)^n
D. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(x) / n!) * (x - x_0)^n
5. Cho vectơ u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3). Tích có hướng u x v là:
A. (7, -3, 1)
B. (-7, 3, -1)
C. (5, -3, 1)
D. (-5, 3, -1)
6. Hệ vectơ {v1, v2, ..., vk} trong không gian vectơ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại ít nhất một tổ hợp tuyến tính bằng vectơ không với các hệ số khác không
B. Mọi tổ hợp tuyến tính bằng vectơ không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng không
C. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính bằng vectơ không với tất cả các hệ số bằng không
D. Mọi tổ hợp tuyến tính bằng vectơ không với ít nhất một hệ số khác không
7. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:
8. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
9. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ có nghiệm duy nhất khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < rank([A|b])
D. rank(A) = rank([A|b]) < số ẩn
10. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (1, 2) là:
A. 6/√2
B. 3/√2
C. 2/√2
D. 1/√2
11. Gradient của hàm số f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 tại điểm (1, 1, 1) là:
A. (1, 1, 1)
B. (2, 2, 2)
C. (3, 3, 3)
D. (0, 0, 0)
12. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là hình hộp chữ nhật [0, 1] x [0, 2] x [0, 3], có giá trị bằng:
13. Cho trường vectơ F = (x, y, z). Divergence của trường vectơ F (div F) là:
14. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] là:
A. λ = 1 và λ = 2
B. λ = 1 và λ = 3
C. λ = 2 và λ = 3
D. λ = -1 và λ = -3
15. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y' + 2y = e^(-x) có dạng:
A. y_p = Ae^(-x)
B. y_p = Axe^(-x)
C. y_p = A
D. y_p = Ax
16. Điều kiện để chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n hội tụ là:
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n ≠ 0
C. ∑_(n=1)^∞ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
17. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận đơn vị
18. Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Vi phân toàn phần df là:
A. e^(xy) dx + e^(xy) dy
B. ye^(xy) dx + xe^(xy) dy
C. xy e^(xy) dx + xy e^(xy) dy
D. e^(xy) (y dx + x dy)
19. Tích phân ∫_(0)^(+∞) e^(-x) dx hội tụ và có giá trị bằng:
A. 0
B. 1
C. +∞
D. Không hội tụ
20. Tích phân mặt ∫∫_S dS, với S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = R^2, có giá trị bằng:
A. πR^2
B. 2πR^2
C. 4πR^2
D. (4/3)πR^3
21. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x^n/n!) là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. [0, +∞)
22. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
23. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất:
A. y'' + y'sin(x) = x^2
B. (y')^2 + y = e^x
C. y' + x^2y = cos(x)
D. y' + yy' = x
24. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'' - 3y' + 2y = 0 là:
A. y = C1*e^x + C2*e^(2x)
B. y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)
C. y = C1*cos(x) + C2*sin(x)
D. y = C1*x + C2
25. Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân y'' + 4y' + 4y = 0 là:
A. r^2 + 4r + 4 = 0
B. r + 4 = 0
C. r^2 + 4 = 0
D. 4r^2 + 4r = 0
26. Cho hàm số f(x) = x^3. Đạo hàm cấp 3 của hàm số tại x = 1 là:
27. Biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1
B. 1/s
C. s
D. 1/s^2
28. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Định thức của ma trận A là:
29. Tích phân ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 1, có giá trị bằng:
A. 1/24
B. 1/12
C. 1/6
D. 1/3
30. Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x_0, y_0) là:
A. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và det(H(x_0, y_0)) > 0, f_xx(x_0, y_0) > 0
B. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và det(H(x_0, y_0)) > 0, f_xx(x_0, y_0) < 0
C. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và det(H(x_0, y_0)) < 0
D. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và det(H(x_0, y_0)) = 0
