1. Phương trình vi phân y′' + y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C1cos(x) + C2sin(x)
B. y = C1eˣ + C2e⁻ˣ
C. y = (C1 + C2x)eˣ
D. y = C1eⁱˣ + C2e⁻ⁱˣ
2. Tính phân kỳ (divergence) của trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z) tại điểm (1, 2, 3) là:
3. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y′ + P(x)y = Q(x)
B. y′' + P(x)y′ + Q(x)y = R(x)
C. (y′)² + P(x)y = Q(x)
D. y′ + P(y) = Q(x)
4. Hạng của ma trận Jacobian của một ánh xạ vectơ F: Rⁿ → Rᵐ tại một điểm cho biết điều gì?
A. Số chiều của không gian ảnh tuyến tính hóa của F tại điểm đó
B. Độ lớn của vectơ gradient
C. Độ cong của bề mặt
D. Giá trị lớn nhất của hàm số
5. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân bội hai
B. Tích phân mặt và tích phân đường
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
D. Tích phân mặt loại 1 và loại 2
6. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x - 3 là hàm số nào sau đây?
A. F(x) = x² - 3x + C
B. F(x) = 2 - 3x + C
C. F(x) = x² + 3x + C
D. F(x) = 2x² - 3x + C
7. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường của trường vectơ dọc theo biên của mặt S và tích phân xoáy của trường vectơ trên mặt S
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
D. Tích phân đường và tích phân bội hai
8. Để tìm cực trị của hàm số f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0, phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng hàm số Lagrange L(x, y, λ) = ?
A. f(x, y) - λg(x, y)
B. f(x, y) + λg(x, y)
C. f(x, y) × g(x, y) - λ
D. f(x, y) ∕ g(x, y) + λ
9. Tích phân suy rộng loại 1 ∫[a, ∞] f(x) dx được định nghĩa là:
A. lim (b→∞) ∫[a, b] f(x) dx
B. ∫[a, b] f(x) dx với b là một số rất lớn
C. ∫[a, ∞) f(x) dx
D. ∫[a, b] f(x) dx - ∫[b, ∞] f(x) dx
10. Tính rot (curl) của trường vectơ F(x, y, z) = (y, z, x) là:
A. (-1, -1, -1)
B. (1, 1, 1)
C. (0, 0, 0)
D. (x, y, z)
11. Tích phân ∫∫[D] dxdy, với D là miền tam giác giới hạn bởi y = x, y = 0, x = 1, biểu diễn:
A. Diện tích miền D
B. Thể tích khối trụ
C. Độ dài đường biên miền D
D. Khối lượng miền D
12. Tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx bằng bao nhiêu?
A. 1∕3
B. 1∕2
C. 2∕3
D. 1
13. Trong các chuỗi số sau, chuỗi nào là chuỗi đan dấu?
A. ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ⁺¹ ∕ n
B. ∑[n=1, ∞] 1 ∕ n²
C. ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ × 2ⁿ
D. ∑[n=1, ∞] (1 + (-1)ⁿ) ∕ n
14. Cho hàm số f(x, y) = xy. Vectơ gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. (2, 1)
B. (1, 2)
C. (1, 1)
D. (2, 2)
15. Phương trình vi phân y′' - 4y′ + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = (C1 + C2x)e²ˣ
B. y = C1e²ˣ + C2e⁻²ˣ
C. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
D. y = C1e⁴ˣ + C2e⁻ˣ
16. Hàm số f(x, y) = x² + y² có điểm dừng tại:
A. (0, 0)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (1, 1)
17. Trong các khẳng định sau về tích phân bội hai, khẳng định nào đúng?
A. Tích phân bội hai tính thể tích dưới mặt cong trong không gian.
B. Tích phân bội hai luôn cho kết quả là diện tích.
C. Tích phân bội hai chỉ áp dụng cho miền hình chữ nhật.
D. Tích phân bội hai không thể âm.
18. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1∕nᵖ) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
19. Đạo hàm riêng cấp một của hàm số f(x, y) = x³ + y² - 3xy theo biến x là:
A. 3x² - 3y
B. 2y - 3x
C. 3x² + 2y - 3y - 3x
D. 3x² + y² - 3y
20. Tích phân mặt loại 2 ∫∫[S] F · dS tính đại lượng vật lý nào?
A. Thông lượng (flux) của trường vectơ F qua mặt S
B. Công của trường vectơ F dọc theo đường cong
C. Khối lượng của mặt S
D. Diện tích của mặt S
21. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] xⁿ ∕ n!
B. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ xⁿ ∕ n!
C. ∑[n=0, ∞] xⁿ
D. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ xⁿ
22. Phương pháp nhân tử tích phân được sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất dạng nào?
A. y′ + P(x)y = Q(x)
B. y′ = f(y)
C. y′' + ay′ + by = 0
D. y′ = f(x)g(y)
23. Cho trường vectơ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để trường vectơ F là trường bảo toàn là:
A. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. P = Q
D. P + Q = 0
24. Trong tọa độ trụ, phần tử thể tích dV được biểu diễn là:
A. r dz dr dθ
B. r² sin(φ) dr dθ dφ
C. dx dy dz
D. dr dθ dz
25. Điều kiện để chuỗi số dương ∑[n=1, ∞] aₙ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh là:
A. Tồn tại chuỗi hội tụ ∑bₙ sao cho 0 ≤ aₙ ≤ bₙ với mọi n đủ lớn
B. Tồn tại chuỗi phân kỳ ∑bₙ sao cho 0 ≤ aₙ ≤ bₙ với mọi n đủ lớn
C. lim (n→∞) (aₙ ∕ bₙ) = 0
D. lim (n→∞) (aₙ ∕ bₙ) = ∞
26. Điều kiện cần để chuỗi số ∑[n=1, ∞] aₙ hội tụ là:
A. lim (n→∞) aₙ = 0
B. lim (n→∞) aₙ = 1
C. ∑[n=1, ∞] |aₙ| hội tụ
D. aₙ > 0 với mọi n
27. Tiêu chuẩn D′Alembert (tỷ số) được dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số nào?
A. Chuỗi số dương
B. Mọi chuỗi số
C. Chuỗi số có dấu bất kỳ
D. Chuỗi số đan dấu
28. Trong tọa độ cực, Jacobian của phép biến đổi từ (r, θ) sang (x, y) là:
29. Tích phân đường loại 1 ∫[C] f(x, y) ds dùng để tính:
A. Khối lượng của dây
B. Diện tích bề mặt
C. Công của lực
D. Thông lượng
30. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′ - 2y = e²ˣ có dạng:
A. yₚ = Axe²ˣ
B. yₚ = Ae²ˣ
C. yₚ = Ax
D. yₚ = A
