1. Hàm số nào sau đây KHÔNG phải là hàm vectơ?
A. F(x, y, z) = (x, y², z³)
B. f(x, y) = x² + y²
C. G(t) = (cos(t), sin(t), t)
D. H(x, y) = (eˣ, ln(y))
2. Ứng dụng nào sau đây KHÔNG phải là ứng dụng của tích phân kép?
A. Tính diện tích hình phẳng
B. Tính thể tích vật thể
C. Tính khối lượng tấm mỏng
D. Tính mômen quán tính của tấm mỏng
3. Miền tích phân nào sau đây phù hợp để tính tích phân kép trên hình tròn tâm gốc, bán kính R?
A. -R ≤ x ≤ R, -R ≤ y ≤ R
B. 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π (tọa độ cực)
C. 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ √(R² - x²)
D. 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π (tọa độ cầu)
4. Trong tọa độ trụ, mặt z = r² biểu diễn hình dạng gì?
A. Mặt phẳng
B. Mặt cầu
C. Paraboloid tròn xoay
D. Hình trụ
5. Gradient của một hàm vô hướng f(x, y, z) là một đại lượng gì?
A. Vô hướng
B. Vectơ
C. Ma trận
D. Số phức
6. Hàm số f(x, y) được gọi là khả vi tại điểm (x0, y0) nếu điều kiện nào sau đây được thỏa mãn?
A. Tồn tại giới hạn của f(x, y) khi (x, y) tiến đến (x0, y0)
B. f(x, y) liên tục tại (x0, y0)
C. Tồn tại đạo hàm riêng ∂f∕∂x và ∂f∕∂y tại (x0, y0)
D. Tồn tại vi phân toàn phần df tại (x0, y0)
7. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt trên một mặt kín S với tích phân nào trên miền V được bao bởi S?
A. Tích phân đường
B. Tích phân kép
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân mặt khác
8. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo tính liên tục của hàm số f(x, y) tại (x0, y0)?
A. Tồn tại giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (x0, y0) và bằng f(x0, y0)
B. Tồn tại đạo hàm riêng ∂f∕∂x và ∂f∕∂y tại (x0, y0)
C. f(x, y) xác định tại (x0, y0)
D. Giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (x0, y0) tồn tại
9. Trong tọa độ cầu, góc φ được đo từ trục nào đến vectơ vị trí?
A. Trục x
B. Trục y
C. Trục z dương
D. Mặt phẳng xy
10. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt trên một mặt S với tích phân nào trên đường cong biên C của S?
A. Tích phân bội ba
B. Tích phân kép
C. Tích phân đường
D. Tích phân mặt khác
11. Hàm số f(x, y) = xy có điểm dừng tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
12. Tích phân mặt loại 1 dùng để tính đại lượng nào sau đây trên một mặt S?
A. Thông lượng của trường vectơ qua S
B. Diện tích của S
C. Công của trường vectơ dọc theo biên S
D. Thể tích giới hạn bởi S
13. Trong tích phân đường loại 2, biểu thức ∫C Pdx + Qdy + Rdz đại diện cho đại lượng vật lý nào?
A. Công của trường vectơ lực dọc theo đường cong C
B. Thông lượng của trường vectơ qua đường cong C
C. Diện tích giới hạn bởi đường cong C
D. Thể tích tạo ra khi quay đường cong C
14. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên một đường cong kín C với tích phân nào trên miền D được bao bởi C?
A. Tích phân mặt
B. Tích phân bội ba
C. Tích phân kép
D. Tích phân đường khác
15. Trong không gian ba chiều, tích phân bội ba được sử dụng để tính đại lượng nào sau đây?
A. Diện tích bề mặt
B. Thể tích của vật thể
C. Độ dài đường cong
D. Diện tích hình phẳng
16. Trong định lý Green, hướng của đường cong kín C phải là hướng nào để định lý đúng?
A. Hướng bất kỳ
B. Hướng ngược chiều kim đồng hồ (dương)
C. Hướng cùng chiều kim đồng hồ (âm)
D. Hướng thẳng
17. Công thức nào sau đây là công thức tính vi phân toàn phần của hàm số f(x, y)?
A. df = (∂f∕∂x)dx + (∂f∕∂y)dy
B. df = (∂²f∕∂x²)dx + (∂²f∕∂y²)dy
C. df = (∂f∕∂x)dy + (∂f∕∂y)dx
D. df = (∂f∕∂x + ∂f∕∂y)(dx + dy)
18. Để tính thể tích của một vật thể giới hạn bởi mặt trụ x² + y² = 4 và các mặt phẳng z = 0, z = 5, hệ tọa độ nào là phù hợp nhất?
A. Tọa độ Descartes
B. Tọa độ trụ
C. Tọa độ cầu
D. Tọa độ cong
19. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để hàm số f(x, y) có cực đại hoặc cực tiểu tại điểm dừng (x0, y0)?
A. Định thức Hessian tại (x0, y0) bằng 0
B. Định thức Hessian tại (x0, y0) khác 0
C. Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f∕∂x² tại (x0, y0) bằng 0
D. Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f∕∂y² tại (x0, y0) dương
20. Trong tích phân đường loại 1, tích phân ∫C f(x, y, z) ds đại diện cho đại lượng nào?
A. Công của trường vectơ
B. Khối lượng của dây cong C với mật độ f
C. Thông lượng của trường vectơ
D. Diện tích bề mặt
21. Điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trường bảo toàn là gì?
A. Divergence của F bằng 0
B. Curl của F bằng 0
C. Gradient của F bằng 0
D. F là trường vectơ hằng
22. Tích phân nào sau đây dùng để tính diện tích bề mặt z = f(x, y) trên miền D?
A. ∫∫D dx dy
B. ∫∫D √(1 + (∂f∕∂x)² + (∂f∕∂y)²) dx dy
C. ∫∫D f(x, y) dx dy
D. ∫∫D |∂f∕∂x + ∂f∕∂y| dx dy
23. Divergence của một trường vectơ F là một đại lượng gì?
A. Vectơ
B. Vô hướng
C. Ma trận
D. Tenxơ
24. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) theo biến x tại một điểm (x0, y0) biểu thị điều gì?
A. Tốc độ thay đổi của f theo hướng bất kỳ
B. Tốc độ thay đổi của f theo hướng y
C. Tốc độ thay đổi của f theo hướng x
D. Giá trị lớn nhất của f tại điểm đó
25. Điều gì xảy ra với tích phân bội ba khi đổi thứ tự tích phân?
A. Giá trị tích phân thay đổi
B. Giá trị tích phân không đổi
C. Tích phân không còn xác định
D. Chỉ áp dụng được cho tích phân kép
26. Curl của một trường vectơ F đo đại lượng nào sau đây?
A. Độ xoáy cục bộ của trường vectơ
B. Độ phát xạ cục bộ của trường vectơ
C. Tổng thông lượng của trường vectơ
D. Công toàn phần của trường vectơ
27. Thông lượng của một trường vectơ F qua một mặt S đo đại lượng nào?
A. Tổng lượng vectơ F chảy qua S
B. Công của trường vectơ F dọc theo biên S
C. Diện tích của mặt S
D. Thể tích giới hạn bởi S
28. Nếu curl của một trường vectơ F bằng 0 trên một miền đơn liên, thì trường F được gọi là gì?
A. Trường ống
B. Trường thế
C. Trường xoáy
D. Trường bảo toàn (hoặc trường gradient)
29. Trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi tọa độ là gì?
A. r
B. r²
C. ρ² sinφ
D. ρ sinφ
30. Trong tọa độ trụ, phần tử thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. dx dy dz
B. r dr dθ dz
C. ρ² sinφ dρ dφ dθ
D. dr dθ dz
