1. Công thức nào sau đây biểu diễn định lý Green trong mặt phẳng?
A. ∮[C] (P dx + Q dy) = ∫∫[D] (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∮[C] (P dx + Q dy) = ∫∫[D] (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y) dA
C. ∮[C] (P dx - Q dy) = ∫∫[D] (∂Q∕∂x + ∂P∕∂y) dA
D. ∮[C] (P dy + Q dx) = ∫∫[D] (∂P∕∂y - ∂Q∕∂x) dA
2. Miền D được giới hạn bởi y = x² và y = x. Tích phân ∫∫[D] x dA bằng:
A. 1∕12
B. 1∕6
C. 1∕3
D. 1∕2
3. Cho f(x, y, z) = x + y + z. Tính tích phân đường loại 1 ∫[C] f(x, y, z) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0, 0) đến (1, 1, 1).
A. 3√3 ∕ 2
B. 3√3
C. 3 ∕ 2
D. 3
4. Cho đường cong C là giao tuyến của mặt z = x² + y² và mặt phẳng z = 4. Tham số hóa đường cong C.
A. r(t) = (2cos(t), 2sin(t), 4)
B. r(t) = (cos(t), sin(t), 4)
C. r(t) = (2t, 2t², 4)
D. r(t) = (t, t, 4)
5. Trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi từ (ρ, φ, θ) sang (x, y, z) là:
A. ρ² sinφ
B. ρ sinφ
C. ρ²
D. ρ² cosφ
6. Giá trị của tích phân lặp ∫[0, 1] ∫[y, 1] eˣ^² dx dy bằng:
A. (e - 1)∕2
B. e - 1
C. e∕2
D. e
7. Trong tọa độ trụ, phương trình x² + y² = 4z biểu diễn mặt nào?
A. Paraboloid tròn xoay
B. Mặt nón
C. Mặt trụ
D. Mặt cầu
8. Trong không gian Oxyz, tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y, z) dọc theo đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t), z(t)) từ t = a đến t = b được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] f(x(t), y(t), z(t)) ||r′(t)|| dt
B. ∫[a, b] f(x(t), y(t), z(t)) r′(t) dt
C. ∫[C] f(x, y, z) ds
D. ∫[a, b] f(x(t), y(t), z(t)) dt
9. Trong tọa độ cực, phần tử diện tích dA được biểu diễn như thế nào?
A. dA = r dr dθ
B. dA = dr dθ
C. dA = r² dr dθ
D. dA = r dθ
10. Mặt S là mặt cầu x² + y² + z² = 1. Tính ∬[S] dS.
11. Cho miền D là hình tròn x² + y² ≤ 1. Tính ∫∫[D] (x² + y²) dA.
12. Tính tích phân đường loại 2 ∫[C] y dx + x dy, với C là đường thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
13. Trong tọa độ trụ, phần tử thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. dV = r dz dr dθ
B. dV = dz dr dθ
C. dV = r² dz dr dθ
D. dV = r dz dθ
14. Tính ∫∫∫[E] dV, với E là khối hộp chữ nhật [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].
15. Cho trường vector F = (-y, x, z). Tính curl(F).
A. (0, 0, 2)
B. (2, 0, 0)
C. (0, 2, 0)
D. (0, 0, 0)
16. Vector pháp tuyến của mặt z = f(x, y) là:
A. (-∂f∕∂x, -∂f∕∂y, 1)
B. (∂f∕∂x, ∂f∕∂y, 1)
C. (∂f∕∂x, -∂f∕∂y, 1)
D. (-∂f∕∂x, ∂f∕∂y, 1)
17. Để tính diện tích mặt cong S được tham số hóa bởi r(u, v), ta sử dụng công thức nào?
A. ∬[D] ||rᵤ × rᵥ|| dA
B. ∬[D] ||rᵤ + rᵥ|| dA
C. ∬[D] ||rᵤ · rᵥ|| dA
D. ∬[D] ||r(u, v)|| dA
18. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo sự tồn tại của tích phân bội hai ∫∫[D] f(x, y) dA?
A. f(x, y) liên tục trên miền D đóng và bị chặn.
B. f(x, y) bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên D đóng và bị chặn.
C. D là miền bị chặn và có diện tích hữu hạn.
D. f(x, y) không bị chặn trên miền D đóng và bị chặn.
19. Cho hàm f(x, y) = xy. Tính tích phân bội hai ∫∫[D] f(x, y) dA, với D là miền vuông góc [0, 1] × [0, 2].
20. Thể tích của khối cầu bán kính R được tính bằng tích phân bội ba nào trong tọa độ cầu?
A. ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, R] ρ² sinφ dρ dφ dθ
B. ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, R] ρ sinφ dρ dφ dθ
C. ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, R] ρ² dρ dφ dθ
D. ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, R] ρ dρ dφ dθ
21. Cho trường vector F = (2x, 2y, 2z). Tính divergence của F.
22. Tích phân ∫[0, 1] ∫[0, √(1-x²)] f(x, y) dy dx được viết lại trong tọa độ cực là:
A. ∫[0, π∕2] ∫[0, 1] f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
B. ∫[0, π∕2] ∫[0, 1] f(r cosθ, r sinθ) dr dθ
C. ∫[0, π] ∫[0, 1] f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
D. ∫[0, π∕2] ∫[0, ∞] f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
23. Công thức nào sau đây biểu diễn tích phân mặt loại 2 của trường vector F = (P, Q, R) qua mặt S?
A. ∬[S] (P dy dz + Q dz dx + R dx dy)
B. ∬[S] (P dx + Q dy + R dz)
C. ∬[S] (P² + Q² + R²)¹∕² dS
D. ∬[S] (P + Q + R) dS
24. Cho trường vector F = (P, Q, R). Phát biểu nào sau đây về định lý Divergence là đúng?
A. ∬[S] F · n dS = ∭[E] div(F) dV
B. ∬[S] F · n dS = ∭[E] curl(F) dV
C. ∬[S] F · n dS = ∭[E] grad(F) dV
D. ∬[S] F · n dS = ∭[E] F dV
25. Để tính diện tích miền D trong mặt phẳng xy, ta có thể sử dụng tích phân bội hai nào?
A. ∬[D] 1 dA
B. ∬[D] x dA
C. ∬[D] y dA
D. ∬[D] (x + y) dA
26. Cho trường vector F = (y, -x, 0). Tính công của F dọc theo đường tròn đơn vị x² + y² = 1, ngược chiều kim đồng hồ.
27. Để tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt z = f(x, y) ≥ 0, mặt xy và miền D trên mặt xy, ta sử dụng công thức nào?
A. V = ∫∫[D] f(x, y) dA
B. V = ∫∫[D] |f(x, y)| dA
C. V = ∫∫[D] (f(x, y))² dA
D. V = ∫∫[D] √(1 + (∂f∕∂x)² + (∂f∕∂y)²) dA
28. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường với tích phân mặt của đại lượng nào?
A. Curl của trường vector
B. Divergence của trường vector
C. Gradient của trường vector
D. Trường vector ban đầu
29. Trong tọa độ cầu, biến đổi nào sau đây là đúng?
A. x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ
B. x = ρ cosφ cosθ, y = ρ cosφ sinθ, z = ρ sinφ
C. x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ
D. x = ρ cosθ sinφ, y = ρ sinθ cosφ, z = ρ sinφ
30. Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (t², t³), 0 ≤ t ≤ 1. Tính ||r′(t)||.
A. √(4t² + 9t⁴)
B. 4t² + 9t⁴
C. 2t + 3t²
D. √(2t + 3t²)
