1. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân mặt trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân kép và tích phân bội ba.
C. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
D. Tích phân mặt loại 1 và tích phân mặt loại 2.
2. Cho hàm số f(x, y, z). Gradient của f, ký hiệu ∇f, là một:
A. Vô hướng.
B. Vectơ.
C. Ma trận.
D. Tập hợp.
3. Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = , 0 ≤ t ≤ 2π. Độ dài của đường cong C là:
A. 2π
B. 2π√2
C. 4π
D. 4π√2
4. Hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy có bao nhiêu điểm dừng?
5. Tích phân ∫_0²π ∫_0¹ r² dr dθ trong tọa độ cực tính:
A. Diện tích hình tròn bán kính 1.
B. Thể tích hình trụ bán kính 1, chiều cao 1.
C. Mômen quán tính của hình tròn bán kính 1 với mật độ tỉ lệ với khoảng cách đến tâm.
D. Thể tích hình cầu bán kính 1.
6. Cho hàm số f(x, y) = xy. Hướng tăng nhanh nhất của f tại điểm (1, 2) là hướng của vectơ nào?
A. <1, 2>
B. <2, 1>
C. ←1, -2>
D. ←2, -1>
7. Trong tọa độ cầu, phần tử diện tích dS trên mặt cầu bán kính a là:
A. a² sin(φ) dφ dθ
B. a sin(φ) dφ dθ
C. a² dφ dθ
D. sin(φ) dφ dθ
8. Cho trường vectơ F = (x, y, z). Tính div(F).
9. Trong tọa độ trụ, phương trình z = r² biểu diễn mặt nào?
A. Mặt phẳng.
B. Mặt nón.
C. Mặt paraboloid tròn xoay.
D. Mặt trụ.
10. Cho mặt S là mặt cầu x² + y² + z² = a². Vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài tại điểm (x, y, z) trên S là:
A.
B.
C. ←x, -y, -z>
D. ←x∕a, -y∕a, -z∕a>
11. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân mặt kín và tích phân bội ba.
B. Tích phân đường và tích phân mặt.
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
D. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
12. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Điểm dừng của hàm số này là:
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
13. Công thức đổi biến trong tích phân bội hai từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực liên quan đến Jacobian nào?
A. r
B. r²
C. sin(φ)
D. ρ² sin(φ)
14. Cho trường vectơ F = <−y, x, 0>. Tính rot(F).
A. <0, 0, 0>
B. <0, 0, 1>
C. <0, 0, 2>
D. <2, 0, 0>
15. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Hình dạng đường cong C.
C. Tham số hóa của đường cong C.
D. Cả điểm đầu, điểm cuối và hình dạng đường cong C.
16. Cho tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA, với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 1. Miền D là miền loại nào?
A. Miền loại 1.
B. Miền loại 2.
C. Vừa là miền loại 1 vừa là miền loại 2.
D. Không là miền loại 1 và cũng không là miền loại 2.
17. Trong các khẳng định sau về trường vectơ, khẳng định nào SAI?
A. Trường vectơ bảo toàn là trường có rot(F) = 0.
B. Trường vectơ solenoid là trường có div(F) = 0.
C. Trường vectơ gradient luôn là trường bảo toàn.
D. Trường vectơ bảo toàn luôn là trường gradient.
18. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm (x0, y0) là:
A. (x0, y0) là điểm dừng.
B. fₓₓ(x0, y0) < 0 và fyy(x0, y0) < 0.
C. fₓy(x0, y0) = 0.
D. fₓₓ(x0, y0)fyy(x0, y0) - (fₓy(x0, y0))² > 0.
19. Cho hàm số f(x, y) = eˣ^² ⁺ ʸ^². Giá trị lớn nhất của f trên hình tròn x² + y² ≤ 1 là:
A. e
B. e²
C. 1
D. Không tồn tại.
20. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân kép trên miền phẳng.
B. Tích phân mặt và tích phân đường.
C. Tích phân bội ba và tích phân mặt.
D. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
21. Trong các phép toán trên trường vectơ sau, phép toán nào cho kết quả là một hàm vô hướng?
A. rot(F)
B. div(F)
C. grad(f)
D. curl(F)
22. Cho trường vectơ F = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để F là trường vectơ bảo toàn là:
A. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
B. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
C. ∂P∕∂y = -∂Q∕∂x
D. ∂P∕∂x = -∂Q∕∂y
23. Cho miền D là hình vuông [0, 1] × [0, 1]. Tích phân ∫∫_D (x + y)² dA bằng:
24. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_0¹ (t + t) dt
B. ∫_0¹ (t + t) √2 dt
C. ∫_0¹ (x + y) dx
D. ∫_0¹ (x + y) dy
25. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS tính lưu lượng của trường vectơ F qua mặt S. Khẳng định nào sau đây là đúng về hướng pháp tuyến của mặt S?
A. Luôn hướng ra ngoài.
B. Luôn hướng vào trong.
C. Hướng pháp tuyến phụ thuộc vào tham số hóa của mặt S và quy ước.
D. Hướng pháp tuyến không quan trọng trong tích phân mặt.
26. Trong tọa độ trụ, phần tử thể tích dV được biểu diễn là:
A. r dz dr dθ
B. r² sin(φ) dr dθ dφ
C. dx dy dz
D. dr dθ dz
27. Nếu rot(F) = 0 trên miền đơn liên D, thì trường vectơ F được gọi là:
A. Trường vectơ solenoid.
B. Trường vectơ gradient.
C. Trường vectơ tiếp tuyến.
D. Trường vectơ pháp tuyến.
28. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây vuông góc với trục Oz?
A. z = 0
B. x = 0
C. y = 0
D. x + y + z = 0
29. Tích phân ∫_0¹ ∫_0ˣ xy dy dx bằng:
A. 1∕8
B. 1∕4
C. 1∕2
D. 1
30. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp fₓy và fyₓ của hàm số f(x, y) có bằng nhau không?
A. Luôn bằng nhau.
B. Không bao giờ bằng nhau.
C. Bằng nhau nếu hàm f(x, y) liên tục.
D. Bằng nhau nếu các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.
